Tehtävä. (1c4) Olkoon
$$
\mathcal{C}^0(0,1)=\{f:(0,1)\to\mathbb{R}\,:\, f\textrm{ jatkuva}\}.
$$
Olkoon \(a\in\mathbb{R}\). Koostukoon \(U\) niistä funktioista \(\mathcal{C}^0(0,1)\), joille
$$
\int_0^1 f(x)\,dx=a.
$$
Osoita, että \(U\) on avaruuden \(\mathcal{C}^0(0,1)\) aliavaruus jos ja vain jos \(a=0\).
Ratkaisu. Avaruuden \(\mathcal{C}^0(0,1)\) neutraalialkio on identtisesti nolla funktio. Jos \(U\) on avaruuden \(\mathcal{C}^0(0,1)\) aliavaruus, niin identtisesti nollan funktion täytyy olla joukossa \(U\). Kyseisen funktion integraali on \(0\), joten täytyy olla \(a=0\).
Oletetaan, että \(a=0\). Nyt avaruuden \(\mathcal{C}^0(0,1)\) neutraalialkio on joukossa \(U\).
Olkoot \(f,g\in U\). Nyt
$$
\int_0^1(f(x)+g(x))dx
=\int_0^1 f(x) dx
+\int_0^1 g(x) dx
=0+0=0.
$$
Siis \(U\) on suljettu yhteenlaskun suhteen.
Olkoon \(f\in U\) ja olkoon \(t\in\mathbb{R}\). Nyt
$$
\int_0^1(tf(x))dx
=t\int_0^1f(x)dx
=t\cdot 0
=0.
$$
Siis \(U\) on suljettu skaalaamisen suhteen.