Esimerkki. (6a5) Tarkastellaan avaruudessa \(\mathcal{P}_2\) määriteltyä sisätuloa $$ \langle p,q\rangle=\int_0^1 p(x)q(x)\,dx. $$ Avaruudella on kanta \(U=\{1,x,x^2\}\). Gram-Schmidt-menetelmän avulla tuota avaruudelle ortonormaali kanta \(E\).
Ratkaisu. Merkitään \(u_1=1\), \(u_2=x\) ja \(u_3=x^2\). Nyt $$ \lVert u_1\rVert^2 =\int_0^1 u(x)u(x)\,dx =\int_0^1 1\,dx=1 $$ ja voidaan valita $$ e_1=\frac{u_1}{\lVert u_1\rVert}=u_1. $$ Nyt $$ \langle u_2,e_1\rangle =\int_0^1 u_2(x)e_1(x)\,dx =\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}, $$ joten $$ p_2=u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1 =x-\frac{1}{2}. $$ Edelleen \[ \begin{split} \lVert p_2\rVert^2 &=\int_0^1 (x-\frac{1}{2})^2\,dx\\ &=\int_0^1 x^2\,dx -\int_0^1 x\,dx +\int_0^1 \frac{1}{4}\,dx\\ &=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\ &=\frac{1}{12}\\ &=\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2, \end{split} \] joten $$ e_2=\frac{p_2}{\lVert p_2\rVert} =2\sqrt{3}x-\sqrt{3}. $$ Lopuksi $$ \langle u_3,e_1\rangle =\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3} $$ ja \[ \begin{split} \langle u_3,e_2\rangle &=2\sqrt{3}\int_0^1 x^3\,dx-\sqrt{3}\int_0^1 x^2\,dx\\ &=\sqrt{3}\left(\frac{2}{4}-\frac{1}{3}\right)\\ &=\frac{\sqrt{3}}{6}. \end{split} \] Siis \[ \begin{split} p_3&=u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1\\ &=x^2-\frac{\sqrt{3}}{6}(2\sqrt{3}x-\sqrt{3})-\frac{1}{3}\\ &=x^2-x+\frac{1}{6}. \end{split} \] Koska $$ \lVert p_3\rVert^2=\int_0^1(p_3(x))^2\,dx=\frac{1}{180}=\left(\frac{1}{6\sqrt{5}}\right)^2, $$ niin $$ e_3=\frac{p_3}{\lVert p_3\rVert} =\frac{1}{6\sqrt{5}}(x^2-x)+\sqrt{5}. $$