Tehtävä. Todista, että sisätuloavaruudessa pätee suunnikassääntö
$$
\lVert u+v\rVert^2+\lVert u-v\rVert^2
=2\lVert u\rVert^2+2\lVert v\rVert^2.
$$
Vihje. Kirjoita normin neliöt sisätulon avulla, esimerkiksi
$$
\lVert u+v\rVert^2=\langle u+v,u+v\rangle.
$$
Sievennä saatuja lausekkeita sisätulon laskusääntöjen avulla.
Ratkaisu. Pätee
$$
\lVert u+v\rVert^2
=\langle u+v,u+v\rangle
=\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle
$$
eli
$$
\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+2\langle u,v\rangle+\lVert v\rVert^2.
$$
Vaihtamalla vektorin \(v\) paikalle \(-v\) saadaan
$$
\lVert u-v\rVert^2=\lVert u\rVert^2-2\langle u,v\rangle+\lVert v\rVert^2.
$$
Laskemalla saadut yhtälöt yhteen saadaan
$$
\lVert u+v\rVert^2+\lVert u-v\rVert^2
=2\lVert u\rVert^2+2\lVert v\rVert^2.
$$
Tehtävä. Olkoot \(u,v\in V\) siten, että
$$
\lVert u\rVert=3,\quad \lVert u+v\rVert =4,\quad \lVert u-v\rVert =6.
$$
Määritä suunnikassäännön avulla luku \(\lVert v\rVert\).
Ratkaisu. Käytetään suunnikassääntöä
$$
\lVert u+v\rVert^2+\lVert u-v\rVert^2
=2\lVert u\rVert^2+2\lVert v\rVert^2.
$$
Saadaan
$$
4^2+6^2
=2\cdot 3^2+2\lVert v\rVert^2.
$$
eli
$$
\lVert v\rVert^2
=\frac{16+36-18}{2}
=\frac{34}{2}=17,
$$
joten \(\lVert v\rVert=\sqrt{17}\).
Tehtävä. Olkoon \(V\) reaalinen sisätuloavaruus. Todista, että
$$
\langle u,v\rangle
=\frac{1}{4}(\lVert u+v\rVert^2-\lVert u-v\rVert^2).
$$
Todistus. Pätee
$$
\lVert u+v\rVert^2
=\langle u+v,u+v\rangle
=\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle
$$
eli
$$
A=\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+2\langle u,v\rangle+\lVert v\rVert^2.
$$
Vaihtamalla vektorin \(v\) paikalle \(-v\) saadaan
$$
B=\lVert u-v\rVert^2=\lVert u\rVert^2-2\langle u,v\rangle+\lVert v\rVert^2.
$$
Siis
$$
A-B=\lVert u+v\rVert^2-\lVert u-v\rVert^2
=4\langle u,v\rangle,
$$
mistä väite seuraa.