Tehtävä. Todista, että sisätuloavaruudessa pätee suunnikassääntö‖u+v‖2+‖u−v‖2=2‖u‖2+2‖v‖2.
Vihje. Kirjoita normin neliöt sisätulon avulla, esimerkiksi
‖u+v‖2=⟨u+v,u+v⟩.
Sievennä saatuja lausekkeita sisätulon laskusääntöjen avulla.
Ratkaisu. Pätee
‖u+v‖2=⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩
eli
‖u+v‖2=‖u‖2+2⟨u,v⟩+‖v‖2.
Vaihtamalla vektorin v paikalle −v saadaan
‖u−v‖2=‖u‖2−2⟨u,v⟩+‖v‖2.
Laskemalla saadut yhtälöt yhteen saadaan
‖u+v‖2+‖u−v‖2=2‖u‖2+2‖v‖2.
Tehtävä. Olkoot u,v∈V siten, että
‖u‖=3,‖u+v‖=4,‖u−v‖=6.
Määritä suunnikassäännön avulla luku ‖v‖.
Ratkaisu. Käytetään suunnikassääntöä
‖u+v‖2+‖u−v‖2=2‖u‖2+2‖v‖2.
Saadaan
42+62=2⋅32+2‖v‖2.
eli
‖v‖2=16+36−182=342=17,
joten ‖v‖=√17.
Tehtävä. Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Todista, että
⟨u,v⟩=14(‖u+v‖2−‖u−v‖2).
Todistus. Pätee
‖u+v‖2=⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩
eli
A=‖u+v‖2=‖u‖2+2⟨u,v⟩+‖v‖2.
Vaihtamalla vektorin v paikalle −v saadaan
B=‖u−v‖2=‖u‖2−2⟨u,v⟩+‖v‖2.
Siis
A−B=‖u+v‖2−‖u−v‖2=4⟨u,v⟩,
mistä väite seuraa.