Kurssi

Ratkaisu. Olkoon \(a=A^2,b=B^2,c=C^2,d=D^2\). Täytyy todistaa $$ 16\leq (A^2+B^2+C^2+D^2) \left( \frac{1}{A^2}+\frac{1}{B^2}+\frac{1}{C^2}+\frac{1}{D^2} \right). $$ Olkoon $$ u=(A,B,C,D),\quad v=\left( \frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}+\frac{1}{D} \right). $$ Nyt $$ \lVert u\rVert^2=\frac{1}{A^2}+\frac{1}{B^2}+\frac{1}{C^2}+\frac{1}{D^2} $$ ja $$ \lVert v\rVert^2 =A^2+B^2+C^2+D^2 $$ ja $$ u\cdot v =1+1+1+1=4. $$ Schwarzin epäyhtälön mukaan $$ |u\cdot v|\leq \lVert u\rVert \lVert v\rVert $$ eli $$ 16=|u\cdot v|^2\leq \lVert u\rVert^2 \lVert v\rVert^2, $$ eli väite pätee.

Ratkaisu. Olkoot \(\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{R}^n\), missä $$ \bar{u}=(x_1,\ldots,x_n),\quad \bar{v}=(1,\ldots,1). $$ Nyt $$ \lVert \bar{u}\rVert^2=x_1^2+\ldots+x_n^2 $$ ja $$ \lVert \bar{v}\rVert^2=1^2+\ldots+1^2=n $$ ja $$ \bar{u}\cdot \bar{v}=x_1\cdot 1+\ldots+x_n\cdot 1=x_1+\ldots+x_n. $$ Schwarzin epäyhtälön nojalla $$ (x_1+\ldots+x_n)^2 =|\bar{u}\cdot \bar{v}|^2 \leq \lVert \bar{u}\rVert^2\lVert \bar{v}\rVert^2 = n(x_1^2+\ldots+x_n^2). $$

Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos \(\bar{u}=cv\bar{v}\) jollakin \(c\in\mathbb{R}\) eli $$ (x_1,\ldots,x_n)=c(1,\ldots,1) $$ eli luvut \(x_k\) ovat yhtäsuuria.

Ratkaisu. Valitaan \(\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{R}^n\) siten, että $$ \bar{u}=(\sqrt{1}a_1,\sqrt{2}a_2,\ldots,\sqrt{n}a_n) $$ ja $$ \bar{v}=(b_1/\sqrt{1},b_2/\sqrt{2},\ldots,b_n/\sqrt{n}). $$ Nyt $$ \bar{u}\cdot\bar{v} =\sum_{j=1}^n a_jb_j $$ ja $$ \lVert\bar{u}\rVert^2 =\sum_{j=1}^n ja_j^2 $$ ja $$ \lVert\bar{v}\rVert^2 =\sum_{j=1}^n \frac{b_j^2}{j}. $$ Väite seuraa käyttämällä Schwarzin epäyhtälöä korotettuna toiseen $$ |\bar{u}\cdot\bar{v}|\leq \lVert\bar{u}\rVert^2 \lVert\bar{v}\rVert^2. $$