Kurssi

Lause 10.5.2. Jos lineaariavaruuden vektorijoukon $U$ yksi vektori $u$ voidaan esittää sen muiden vektorien lineaarikombinaationa, niin $[U]=[U\setminus\{u\}]$. Tällöin $u$ on viritysmielessä turha.

Todistus.(Lause 10.5.2) Inkluusio $[U\setminus\{u\}]\subset [U]$ on triviaali. Olkoon $v\in[U]$ mielivaltainen. Tällöin $v$ voidaan esittää lineaarikombinaationa $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k.$$ Jos mikään alkioista $v_1,\ldots,v_k$ ei ole $u$, niin lineaarikombinaatioesityksen nojalla $v\in[U\setminus\{u\}]$.

Jos joku alkioista $v_j=u$, niin sijoitetaan oletuksen takaama lineaarikombinaatioesitys $$u=\beta_1u_1+\cdots+\beta_pu_p$$ alkion $v$ esityskaavaan. Huomaa, että mikään alkioista $u_1,\ldots,u_p$ ei ole $u$, koska $u$ voidaan esittää joukon $U$ muiden alkioiden lineaarikombinaationa. Saadaan $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_iv_i+\cdots+\alpha_kv_k$$ eli $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_i(\beta_1u_1+\cdots+\beta_pu_p)+\cdots+\alpha_kv_k$$ eli $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_i\beta_1u_1+\cdots+\alpha_i\beta_pu_p+\cdots+\alpha_kv_k,$$ joten $v\in [U\setminus\{u\}]$.$\Box$