Kurssi

Lineaarisesti riippuva vektori on viritysmielessä turha



Lause 10.5.2. Jos lineaariavaruuden vektorijoukon \(U\) yksi vektori \(u\) voidaan esittää sen muiden vektorien lineaarikombinaationa, niin \([U]=[U\setminus\{u\}]\). Tällöin \(u\) on viritysmielessä turha.

Todistus.(Lause 10.5.2) Inkluusio \([U\setminus\{u\}]\subset [U]\) on triviaali. Olkoon \(v\in[U]\) mielivaltainen. Tällöin \(v\) voidaan esittää lineaarikombinaationa $$ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k. $$ Jos mikään alkioista \(v_1,\ldots,v_k\) ei ole \(u\), niin lineaarikombinaatioesityksen nojalla \(v\in[U\setminus\{u\}]\).

Jos joku alkioista \(v_j=u\), niin sijoitetaan oletuksen takaama lineaarikombinaatioesitys $$ u=\beta_1u_1+\cdots+\beta_pu_p $$ alkion \(v\) esityskaavaan. Huomaa, että mikään alkioista \(u_1,\ldots,u_p\) ei ole \(u\), koska \(u\) voidaan esittää joukon \(U\) muiden alkioiden lineaarikombinaationa. Saadaan $$ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_iv_i+\cdots+\alpha_kv_k $$ eli $$ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_i(\beta_1u_1+\cdots+\beta_pu_p)+\cdots+\alpha_kv_k $$ eli $$ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_i\beta_1u_1+\cdots+\alpha_i\beta_pu_p+\cdots+\alpha_kv_k, $$ joten \(v\in [U\setminus\{u\}]\).\(\Box\)



Edellinen: tod10-4-1 | Seuraava: tod11-2-4 | Menu: 3