Todistus. (Lause 11.2.4) Riittää osoittaa, että joukon \(U'=U\cup\{v\}\) mielivaltainen äärellinen osajoukko \(U''\) on lineaarisesti riippumaton. Jos kyseinen joukko \(U''\) ei sisällä alkiota \(v\), niin \(U''\subset U\) ja täten on lineaarisesti riippumattoman joukon \(U\) osajoukkona lineaarisesti riippumaton. Muutoin joukko \(U''\) on muotoa $$ U''=\{u_1,\ldots,u_k,v\}, $$ missä \(u_1,\ldots,u_k\in U\). Mielivaltaisessa joukon \(U''\) lineaarikombinaatioyhtälössä $$ a_1u_1+\cdots+a_ku_k+cv=0 $$ on kaksi mahdollisuutta, joko \(c=0\) tai \(c\neq 0\).
(i) Jos \(c=0\), niin $$ a_1u_1+\cdots+a_ku_k=0 $$ ja edelleen joukon \(U\) lineaarisen riippumattomuuden nojalla pätee \(a_1=\cdots=a_k=0\).
(ii) Tapaus \(c\neq 0\) on puolestaan mahdoton. Silloin alkio \(v\) voitaisiin esittää muodossa $$ v=\left(-\frac{a_1}{c}\right)u_1 +\cdots+ \left(-\frac{a_k}{c}\right)u_k, $$ jollakin \(v\in[U]\), mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.
Näin ollen yhtälön $$ a_1u_1+\cdots+a_ku_k+cv=0 $$ ainoa ratkaisu on \(a_1=\cdots=a_k=c=0\), ja täten \(U''\) on lineaarisesti riippumaton.
Joukon \(U'\) virittämä aliavaruus \([U']\) on lineaariavaruus. Inkluusio \([U]\subset[U']\) on selvä. Kyseessä on aito inkluusio, koska \(v\notin [U]\), mutta \(v\in[U']\). \(\Box\)