Kurssi

Lause 12.6.1. Olkoon \(V\) ei-triviaali äärellisulotteinen lineaariavaruus. Jos \(F\subset V\) on epätyhjä lineaarisesti riippumaton joukko, niin \(F\) voidaan täydentää kannaksi, ts. on olemassa kanta \(E\subset V\), jolle \(F\subset E\).

Todistus. (Lause 12.6.1) Olkoon \(F\subset V\) lineaarisesti riippumaton joukko, jossa on \(k\) alkiota ja merkitään \(n=\mathrm{dim}~V\). Siis \(k\leq n\).

Tapaus 1. Jos \(F\) on kanta, niin väite on triviaalisti totta.

Tapaus 2. Jos \(F\) ei ole kanta, niin \(F\) ei viritä avaruutta \(V\) ja on olemassa \(v_1\in V\setminus[F]\). Tällöin \(F=F\cup\{v_1\}\) on lineaarisesti riippumaton. Jos myöskään \(F_1\) ei ole kanta, niin on olemassa \(v_2\in V\setminus[F_1]\) ja joukko \(F_2=F_1\cup\{v_2\}\) on edelleen lineaarisesti riippumaton. Jatkamalla samalla tavalla voidaan todeta, että jos \(F_{m-1}\) ei ole kanta, niin on olemassa \(v_m\in V\setminus[F_{m-11}]\) siten, että joukko $$ F_m=F_{m-1}\cup\{v_m\} =F\cup\{v_1,\ldots,v_m\} $$ on lineaarisesti riippumaton. Prosessi päättyy, kun joukkoon \(F\) on lisätty yhteensä \(n-k\) alkiota, koska jokainen \(n\)-alkioinen lineaarisesti riippumaton osajoukko on kanta. \(\Box\)