Matriisiesityslause kuvaukselle $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$

Lause 16.1.2. Olkoot $\mathbb{R}^n$ ja $\mathbb{R}^m$ varustettu luonnollisilla järjestetyillä kannoillaan. Jos $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ on lineaarikuvaus, on olemassa yksikäsitteisesti määrätty matriisi $A_L\in\mathbb{R}^{m\times n}$, jolle $$ L(\bar{x})=A_L\bar{x} $$ kaikilla $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$. Matriisin $A_L$ sarakkeina ovat avaruuden $\mathbb{R}^n$ standardien kantavektorien $\bar{e}_k$ kuvat kuvauksessa $L$, ts. $$ A_L=(L(\bar{e}_1),L(\bar{e}_2),\ldots,L(\bar{e}_n)). $$

Todistus. (Lause 16.1.2) Todistetaan ensin vaadittavan matriisin olemassaolo. Määritellään matriisi $A_L$ lähtöavaruuden kantavektorien kuvina $$ A_L=(\bar{a}_1,\ldots,\bar{a}_n), $$ missä sarakevektorit $\bar{a}_j=L(\bar{e}_j$ kaikilla $j=1,\ldots,n$. Olkoon $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$ mielivaltainen. Vektorilla $\bar{x}$ on (yksikäsitteinen) esitys $$ \bar{x}=x_1\bar{e}_1+\ldots+x_n\bar{e}_n $$ kantavektorien avulla. Lineaarisuuden nojalla $$ L(\bar{x})=L(x_1\bar{e}_1+\ldots+x_n\bar{e}_n) =x_1L(\bar{e}_1)+\ldots+x_nL(\bar{e}_n). $$ Tiedon $\bar{a}_j=L(\bar{e}_j$ nojalla $$ L(\bar{x})=x_1\bar{a}_1+\ldots+x_n\bar{a}_n =(\bar{a}_1\cdots\bar{a}_n) \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} =A_L\bar{x}, $$ joten matriisi $A_L$ toteuttaa vaaditut ominaisuudet.

Todistetaan seuraavaksi esitysmatriisien yksikäsitteisyys. Oletetaan, että matriiseille $A,B\in\mathbb{R}^{m\times n}$ pätee $$ L(\bar{x})=A\bar{x}=B\bar{x},\quad \bar{x}\in\mathbb{R}^n. $$ Erityisesti jokaisella kantavektorilla $\bar{e}_j$, missä $j=1,\ldots,n$, pätee $$ A\bar{e}_j=B\bar{e}_j. $$ Mutta tällöin matriiseilla $A$ ja $B$ on samat sarakkeet $$ A(:,j)=A\bar{e}_j=B\bar{e}_j=B(:,j),\quad j=1,\ldots,n, $$ ja täten $A=B$.$\Box$

Kurssi

Matriisiesityslause kuvaukselle \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)