Todistus. (Lause 13.2.2) Jos \(E\in\mathbb{R}^{m\times m}\) on alkeismatriisi, niin matriisin \(EA\) rivit ovat matriisin \(A\in\mathbb{R}^{m\times m}\) rivien lineaarikombinaatioita, koska \(EA\) on saatu matriisista \(A\) tekemällä sille alkeismatriisin \(E\) tyyppiä vastaava alkeisoperaatio rivien suhteen. Muistetaan, että alkeisoperaatiot ovat
Oletetaan, että matriisit \(A\) ja \(B\) ovat riviekvivalentteja. Tällöin on olemassa alkeismatriisit \(E_1,\ldots,E_k\) siten, että $$ B=E_kE_{k-1}\cdots E_2E_1A. $$ Toistamalla todistuksen alkuosa yhteensä \(k\) kertaa saadaan \([B]_r\subset [A]_r\).
Koska riviekvivalenttisuus on symmetrinen relaatio, on olemassa alkeismatriisit \(E_1',\ldots,E_j'\) siten, että $$ A=E_j'E_{j-1}'\cdots E_2'E_1'B. $$ Tästä saadaan \([A]_r\subset [B]_r\) ja näin ollen \([A]_r= [B]_r\).\(\Box\)