Voit käyttää itse tekemääsi .tex-tiedostoa tällä sivulla.
Tehtävä. Osoita, että raja-arvo
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^6+y^2}
$$
ei ole olemassa.
Ratkaisu. Lasketaan aluksi raja-arvo pitkin suoraa \(x=0\).
Mitä raja-arvoksi saadaan?
Kun \(x=0\), niin
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^6+y^2}
=\lim_{y\to 0}\frac{0}{0^6+y^2}
=\lim_{y\to 0}0=0.
$$
Seuraavaksi tulisi löytää jokin käyrä, jota pitkin saataisiin eri raja-arvoehdokas kuin \(0\).
Mikä on sopiva käyrä?
Kun \(y=x^3\), niin nimittäjä sievenee muotoon.
$$
x^6+y^2=x^6+(x^3)^2=2x^6
$$
Tarkastellaan siis raja-arvoa
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^6+y^2}
$$
pitkin käyrää \(y=x^3\).
Mitä saadaan raja-arvoksi käyrää \(y=x^3\) pitkin?
Kun \(y=x^3\), niin nimittäjä on siis \(2x^6\) ja saadaan
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{2x^6}
=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
$$
Mikä loppupäätelmä on?
Käyriä \(x=0\) ja \(y=x^3\) pitkin saatiin eri raja-arvoehdokkaat \(0\) ja \(\frac{1}{2}\). Jos varsinainen raja-arvo
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^6+y^2}
$$
olisi olemassa, niin sen täytyisi olla yksikäsitteinen. Siis varsinaista raja-arvoa ei voi olla olemassa.
Lisätietoja
PHP prosessoi .tex-tiedoston ja tunnistaa avainsanat
\waihda (tekee "näytä"-napin)
\selita (tekee "miksi?"-napin ja "selityslaatikon")
\jatkuu (sulkee "selityslaatikon")
\oikein (tekee nappulan oikealle vaihtoehdolle)
\waarin (tekee nappulan väärälle vaihtoehdolle)
\kysymy (tekee kysymykselle laatikon)
\loppuu (kertoo koodille, että tiedosto loppuu)
sekä komennot
\begin{tehtava} (kirjoittaa Tehtävä.)
\end{tehtava} (pyyhkiytyy pois)
\begin{solution} (kirjoittaa Ratkaisu.)
\end{solution} (pyyhkiytyy pois)
Kirjain "w" valikoitui komentoihin "\waihda" ja "\waarin", koska "\v" onkin jokin PHP-komento.
Myös LaTeX tuottaa .tex-tiedostosta järkevän pdf-tiedoston, kunhan avainsanat ja komennot on määritelty. Siis tehtäviä voi tehdä, jos osaa käyttää LaTeXia.
