Kurssi

Lause. (Väliarvolause) Olkoon \(f\) jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Tällöin on olemassa \(c\in(a,b)\) siten, että $$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ tai yhtäpitävästi $$ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). $$

Lause. (Väliarvolause kahden muuttujan funktiolle) Oletetaan, että funktion \(f(x,y)\) osittaisderivaatat \(f_1(x,y)\) ja \(f_2(x,y)\) ovat jatkuvia pisteen \((a,b)\) ympäristössä. Jos \(|h|\) ja \(|k|\) ovat riittävän pieniä, niin on olemassa luvut \(\theta_1,\theta_2\in(0,1)\) siten, että $$ f(a+h,b+k)-f(a,b)=hf_1(a+\theta_1h,b+k)+kf_2(a,b+\theta_2k). $$

Todistus. Kirjoitetaan $$ f(a+h,b+k)-f(a,b) =[f(a+h,b+k)-f(a,b+k)]+[f(a,b+k)-f(a,b)]. $$ Oletetaan, että \(h\gt 0\). Sovelletaan yhden muuttujan väliarvolausetta funktioon \(g(x)=f(x,b+k)\) välillä \((a,a+h)\). On siis olemassa \(c\in(a,a+h)\) siten, että $$ g'(c)=f_1(c,b+k)=\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{(a+h)-a} $$ eli $$ f(a+h,b+k)-f(a,b+k)=hf_1(c,b+k). $$ Vastaavasti, jos \(h\lt 0\), niin on olemassa \(c\in(a+h,a)\) siten, että $$ f_1(c,b+k)=\frac{f(a,b+k)-f(a+h,b+k)}{a-(a+h)} $$ eli $$ f(a+h,b+k)-f(a,b+k)=hf_1(c,b+k). $$ Kummassakin tapauksessa \(c\) on lukujen \(a\) ja \(a+h\) välissä, eli on olemassa \(\theta_1\in(0,1)\) siten, että \(c=a+\theta_1h\). Saadaan $$ f(a+h,b+k)-f(a,b+k)=hf_1(a+\theta_1h,b+k). $$ Seuraavaksi sovelletaan yhden muuttujan väliarvolausetta funktioon \(g(y)=f(a,y)\), kun \(y\) on lukujen \(b\) ja \(b+k\) välissä. Saadaan $$ f(a,b+k)-f(a,b)=kf_2(a,b+\theta_2k), $$ missä \(\theta_2\in(0,1)\).\(\Box\).

Lause. Jos osittaisderivaatat \(f_1(x,y)\) ja \(f_2(x,y)\) ovat jatkuvia pisteen \((a,b)\) ympäristössä, niin \(f\) on DIFFVA pisteessä \((a,b)\).

Todistus. Sovelletaan arvioita $$ \left|\frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| \leq \left|\frac{h}{\sqrt{h^2}}\right|=1 $$ ja $$ \left|\frac{k}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|\leq 1 $$ sekä edellä osoitettua väliarvolausetta. Saadaan \begin{equation*} \begin{split} 0&\leq\left| \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-hf_1(a,b)-kf_2(a,b)}{\sqrt{h^2+k^2}} \right|\\ &\stackrel{VAL}{=} \frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_1(a+\theta_1h,b+k)-f_1(a,b))\\ &\quad +\frac{k}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_2(a+\theta_1h,b+k)-f_2(a,b))\\ &\leq (f_1(a+\theta_1h,b+k)-f_1(a,b))\\ &\quad +(f_2(a+\theta_1h,b+k)-f_2(a,b))\\ &\to 0+0=0, \end{split} \end{equation*} kun \((h,k)\to(0,0)\), sillä ensimmäinen sulkulauseke menee nollaan, koska \(f_1\) on jatkuva, ja toinen menee nollaan, koska \(f_2\) on jatkuva. Kuristusperiaatteen nojalla \(f\) on DIFFVA.\(\Box\).