Suunnattu derivaatta

Olkoon $\vec{u}=u\vec{i}+v\vec{j}$ yksikkövektori eli $\lvert\vec{u}\rvert =\sqrt{u^2+v^2}=1$. Funktion $f(x,y)$ suunnattu derivaatta vektorin $\vec{u}$ suuntaan pisteessä $(a,b)$ on $$ D_{\vec{u}}f(a,b)=\lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+hu,b+hv)-f(a,b)}{h}. $$

Huomautus. Voidaan myös kirjoittaa $$ D_{\vec{u}}f(a,b)=\frac{d}{dt}f(a+tu,b+tv)\bigg|_{t=0}, $$ mikäli kyseessäoleva derivaatta on olemassa.

Osoittautuu, että kun gradientti on laskettu, suunnatut derivaatat saa laskettua helposti.

Lause. Olkoon $f(x,y)$ DIFFVA pisteessä $(a,b)$ ja olkoon $\vec{u}=u\vec{i}+v\vec{j}$ yksikkövektori. Tällöin $$ D_{\vec{u}}f(a,b)=\vec{u}\cdot \nabla f(a,b). $$

Huomautus. Voidaan helposti todistaa erikoistapaukset $$ D_{\vec{i}}f(a,b)=f_1(a,b)=\vec{i}\cdot (f_1(a,b)\vec{i}+f_2(a,b)\vec{j}) =\vec{i}\cdot \nabla f(a,b) $$ ja $$ D_{\vec{j}}f(a,b)=f_2(a,b)=\vec{j}\cdot (f_1(a,b)\vec{i}+f_2(a,b)\vec{j}) =\vec{j}\cdot \nabla f(a,b). $$

Lauseen todistus. Ketjusäännön nojalla \begin{equation*} \begin{split} D_{\vec{u}} f(a,b) &=\frac{d}{dt}f(a+tu,b+tv)\bigg|_{t=0}\\ &=[f_1(a+tu,b+tv)u+f_2(a+tu,b+tv)v]\bigg|_{t=0}\\ &=f_1(a,b)u+f_2(a,b)v\\ &=(f_1(a,b)\vec{i}+f_2(a,b)\vec{j})\cdot (u\vec{i}+v\vec{j})\\ &=\nabla f(a,b)\cdot \vec{u}. \end{split} \end{equation*}$\Box$.

Huomautus. Geometrisesti suunnattu derivaatta kuvaa funktion $f$ kasvunopeutta vektorin $\vec{u}$ suuntaan. Erikoistapauksina $$ D_{\vec{i}}f(a,b)=f_1(a,b),\quad D_{\vec{j}}f(a,b)=f_2(a,b). $$

Määritellään suunnattu derivaatta myös muiden kuin yksikkövektorien osoittamaan suuntaan.

Olkoon $\vec{v}$ jokin ei-nollavektori, mutta ei välttämättä yksikkövektori. Tällöin $$ \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert} $$ on samansuuntainen yksikkövektori. Määritellään nyt, että suunnattu derivaatta vektorin $\vec{v}$ suuntaan on suunnattu derivaatta vektorin $\vec{u}$ suuntaan eli $$ D_{\vec{v}}=D_{\vec{u}}. $$ Käyttämällä edellisen lauseen kaavaa saadaan $$ D_{\vec{v}}=D_{\vec{u}}=\vec{u}\cdot \nabla f(a,b) =\frac{1}{\lvert \vec{v}\rvert} \vec{v}\cdot \nabla f(a,b). $$ Siis voidaan laskea suunnattu derivaatta tavanomaisesti, mutta jaetaan lopussa suuntavektorin pituudella.

Esimerkki. Määritä funktion $$ f(x,y)=y^4+2xy^3x^2y^2 $$ kasvunopeus vektorin $\vec{i}+2\vec{j}$ suuntaan pisteessä $(0,1)$.

Ratkaisu. Funktion $f$ gradientti on $$ \nabla f(x,y)=f_1(x,y)\vec{i}+f_2(x,y)\vec{j} =(2y^3+2xy^2)\vec{i}+(4y^3+6xy^2+2x^2y)\vec{j}. $$ Nyt suuntavektori $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ ei ole yksikkövektori vaan sen pituus on $\sqrt{5}$. Näin ollen kysytty kasvunopeus on $$ D_{\vec{v}} f(0,1) =\frac{1}{\sqrt{5}} (\vec{i}+2\vec{j})\cdot \nabla f(0,1) =\frac{1}{\sqrt{5}}(\vec{i}+2\vec{j})\cdot (2\vec{i}+4\vec{j}) =2\sqrt{5}. $$

Huomautus. Edellä olleen huomautuksen nojalla, kun $\vec{u}$ on yksikkövektori, saadaan $$ D_{\vec{u}}=|\nabla f(a,b)|\cos\theta, $$ missä $\theta$ on vektoreiden $\vec{u}$ ja $\nabla f(a,b)$ välinen kulma. Siten suunnattu derivaatta saa

maksimiarvonsa, kun $\cos\theta=1$ eli $\theta=0$ eli kun $\vec{u}$ ja $\nabla f(a,b)$ ovat samansuuntaiset;
minimiarvonsa, kun $\cos\theta=-1$ eli $\theta=\pi$ eli kun $\vec{u}$ ja $\nabla f(a,b)$ ovat vastakkaissuuntaiset;

Kasvu on siis maksimaalista gradientin suunnassa. Tasa-arvokäyrien tangenttien suunnassa kasvua ei ole. Tällöin $\cos\theta=0$ eli $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ eli $\vec{u}\perp\nabla f(a,b)$.

Kurssi

Suunnattu derivaatta