Ääriarvot

Yhden muuttujan funktiolla $f$ on pisteessä $x_1$ lokaali maksimi, jos on olemassa $\delta \gt 0$ siten, että $$ f(x)\leq f(x_1)\quad\textrm{kaikilla}\quad x\in(x_1-\delta,x_2+\delta). $$ Lokaali minimi määritellään vastaavasti.

Määritelmä. Funktiolla $f(x,y)$ on lokaali maksimi (vast. lokaali minimi) pisteessä $(a,b)$, jos $f(x,y)\leq f(a,b)$ (vast. $f(a,b)\leq f(x,y)$ pisteen $(a,b)$ jossakin ympäristössä.

Jos asianomainen epäyhtälö on voimassa globaalisti, toisin sanoen funktion $f$ määrittelyjoukossa, niin $f$ saa suurimman arvonsa (SA) tai pienimmän arvonsa (PA) pisteessä $(a,b)$.

Jos $(a,b)$ on lokaali maksimi, niin on olemassa $\delta\gt 0$ siten, että jos $$ (x,y)\in\{(h,k)\in\mathbb{R}^2\,:\, (h-a)^2+(k-b)^2\leq \delta\}, $$ niin $f(a,b)\geq f(x,y)$.

Lause. Jos $f(x,y)$ saa ääriarvonsa määrittelyjoukkonsa pisteessä $(a,b)$, niin $(a,b)$ on jokin seuravista.

kriittinen piste eli $\nabla f(a,b)=\vec{0}$;
singulaarinen piste eli $\nabla f(a,b)$ ei ole olemassa;
määrittelyjoukon reunapiste.

Todistus. Oletetaan, että $(a,b)$ ei ole reunapiste. Tällöin $(a,b)$ on määrittelyjoukon sisäpiste. Oletetaan, että $(a,b)$ ei ole singulaarinen piste. Tällöin $\nabla f(a,b)$ on olemassa. Jos $(a,b)$ ei ole kriittinen piste, niin $\nabla f(a,b)\neq 0$. Tällöin $$ \vec{u}=\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|} ja \vec{v}=-\vec{u} $$ ovat hyvin määriteltyjä yksikkövektoreita. Suunnatut derivaatat $$ D_{\vec{u}} f(a,b)=\vec{u}\cdot \nabla f(a,b)=|\nabla f(a,b)|\gt 0 $$ ja $$ D_{\vec{v}} f(a,b)=-\vec{u}\cdot \nabla f(a,b)=-|\nabla f(a,b)|\lt 0 $$ osoittavat, että $f$ on sekä kasvava että vähenevä pisteen $(a,b)$ läheisyydessä. Siten $(a,b)$ ei ole funktion $f$ ääriarvopiste; ristiriita.$\Box$.

Joukko $D\subset\mathbb{R}^2$ on rajoitettu, jos on olemassa $R\gt 0$ siten, että $$ D\subset B(0,R)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, x^2+y^2\leq R^2\}. $$ Joukko $D$ on suljettu, jos $R^2\setminus D$ on avoin. Joukko $D$ on avoin, jos jokaiselle $x\in D$ on olemassa $r\gt 0$ siten, että $B(x,r)\subset D$.

Lause. Jos $f(x,y)$ on määritelty ja jatkuva suljetussa ja rajoitetussa $D\subset R^2$, niin $f$ saa SA:n ja PA:n joukossa $D$.

Esimerkki. (a) Olkoon $f(x,y)=x^2+y^2$. Tällöin $$ \nabla f(x,y)=2x\vec{i}+2y\vec{j}, $$ joten $(0,0)$ on ainoa kriittinen piste. Koska $$ f(x,y)=x^2+y^2\geq 0=f(0,0), $$ niin $f$ saa PA:n origossa.

Jos määrittelyjoukkoa ei ole mitenkään rajattu, niin funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa. Jos määrittelyjoukko on esimerkiksi suljettu ympyrä, niin $f$ saa suurimman arvonsa jokaisessa reunapisteessä.

(b) Funktio $f(x,y)=1-x^2-y^2$ saa suurimman arvonsa origossa, koska $$ f(0,0)=1\geq f(x,y). $$ Funktiolla $f$ ei ole pienintä arvoa.

$f(0,0)=0$
$f(x,0)\lt 0$, kun $x\neq 0$,
$f(0,y)=gt $, kun $y\neq 0$.

Siis funktiolla $f$ ei ole ääriarvoa origossa. Origo on niin sanottu satulapiste.

Esimerkki. Funktiolla $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ ei ole kriittisiä pisteitä, mutta sillä on singulaaripiste origossa, jossa se saa pienimmän arvonsa. Huomaa, että $yz$-tasossa $x=0$, joten $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{y^2}=|y|$. Vastaavasti $xz$-tasossa on $y=0$, joten $f(x,y)=|x|$.

Esimerkki. Funktio $f(x,y)=1-x$ on määritelty koko tasossa $\mathbb{R}^2$, mutta sillä ei ole singulaaripisteitä eikä kriittisiä pisteitä. Siten funktiolla $f$ ei ole ääriarvoja joukossa $\mathbb{R}^2$. Jos $f$ rajoitetaan suljettuun yksikkökiekkoon, niin se saa SA:n ja PA:n joukon reunalla.

Kurssi

Ääriarvot