Olkoon \((a,b)\) funktion \(f(x,y)\) kriittinen sisäpiste. Oletetaan, että toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen \((a,b)\) ympäristössä. Merkitään $$ A=f_{11}(a,b),\quad B=f_{12}(a,b),\quad C=f_{22}(a,b). $$ Voidaan osoittaa seuraavat asiat.
Esimerkki. Olkoon \(f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2\). Tällöin $$ f_1(x,y)=6x^2-6y=0, $$ jos ja vain jos \(x^2=y\), ja $$ f_2(x,y)=-6x+6y=0, $$ jos ja vain jos \(x=y\). Saadaan \(x^2=y=x\), josta \(x=0\) tai \(x=1\). Siten \((0,0)\) ja \((1,1)\) ovat ainoat kriittiset pisteet. Edelleen $$ f_{11}(x,y)=12x,\quad f_{22}(x,y)=6,\quad f_{12}(x,y)=-6=f_{21}(x,y). $$ Pisteessä \((0,0)\) on $$ B^2-AC=f_{12}(0,0)^2-f_{11}(0,0)f_{22}(0,0)=36\gt 0, $$ joten \((0,0)\) on satulapiste. Pisteessä \((1,1)\) $$ B^2-AC=f_{12}(0,0)^2-f_{11}(0,0)f_{22}(0,0)=-36\lt 0 $$ ja \(A=f_{11}(1,1)=12\gt 0\), joten funktiolla \(f\) on lokaali minimi pisteessä \((1,1)\).