Kurssi

Esimerkki. Etsi funktion \(f(x,y)=x^2ye^{-(x+y)}\) SA ja PA kolmionmuotoisessa joukossa $$ T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, x\geq 0,\quad y\geq 0,\quad x+y\leq 4\}. $$

Ratkaisu. Selvitetään mahdolliset kriittiset pisteet. Osittaisderivaatoiksi saadaan $$ f_1(x,y)=2xye^{-(x+y)}-x^2ye^{-(x+y)}=xy(2-x)e^{-(x+y)} $$ ja $$ f_2(x,y)=x^2e^{-(x+y)}-x^2ye^{-(x+y)}=x^2(1-y)e^{-(x+y)}. $$ Siis \(f_1(x,y)=0\) jos ja vain jos \(x=0\), \(y=0\) tai \(x=2\). Vastaavasti \(f_2(x,y)=0\) jos ja vain jos \(x=0\) tai \(y=1\). Eritoten \(x=0\) tai \(x=2\). Jos \(x=0\), niin \(y\in\mathbb{R}\). Jos taas \(x=2\), niin \(y=1\). Kriittisiä pisteitä ovat siis \((2,1)\) ja \((0,y)\) kaikilla \(y\in[0,4]\). Näistä ainoastaan \((2,1)\) on joukon \(T\) sisäpiste, ja \(f\) saa siinä arvon \(f(2,1)=4/e^3\approx 0,199\).

Tarkastellaan seuraavaksi joukon \(T\) reunapisteitä. Kolmion \(T\) kateeteilla eli \(x\)-akselilla ja \(y\)-akselilla \(f\) saa arvon \(0\). Hypotenuusalla $$ y=4-x,\quad 0\leq x\leq 4, $$ funktio redusoituu yhden muuttujan funktioksi $$ g(x)=f(x,4-x)=x^2(4-x)e^{-4},\quad 0\leq x\leq 4. $$ Nyt $$ g'(x)=[2x(4-x)-x^2]e^{-4}=(8-3x)xe^{-4}=0, $$ jos ja vain jos \(x=0\) tai \(x=8/3\). Edelleen $$ g(0)=0 $$ ja $$ g(8/3)=256e^{-4}/27\approx 0,174\lt f(2,1). $$ Siis funktion \(f\) suurin arvo joukossa \(T\) on \(f(2,1)=4/e^3\) ja pienin arvo \(0\) saavutetaan kolmion kateeteilla.

Esimerkki. Määrää funktion \(f(x,y)=x^2+y^2\) pienin arvo, kun muuttujia \(x\) ja \(y\) sitoo yhtälö \(2x-y=4\).

Ratkaisu. Ratkaistaan \(y\) yhtälöstä 2x-y=4\(\), saadaan \(y=2x-4\). Sijoitetaan tämä funktioon \(f\), saadaan $$ f(x,y)=f(x,2x-4)=x^2+(2x-4)^2 =5x^2-16x+16=:g(x). $$ Yhden muuttujan funktion \(g\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(g\) saa pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa. Saadaan $$ g'(x)=10x-16=0\quad\textrm{eli}\quad x=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}. $$ Siis $$ PA=g(8/5)=\ldots=\frac{16}{5}. $$ Tämä saavutetaan pisteessä $$ (\frac{8}{5},2\frac{8}{5}-4)=(\frac{8}{5},-\frac{2}{5}). $$