Yhden muuttujan ketjusääntö tunnetaan, se on $$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x). $$ Usean muuttujan tapaus on paljon monimutkaisempi, sillä \(f\) voi riippua useasta muuttujasta ja jokainen niistä muuttujista voi edelleen riippua uusista muuttujista.
Yleistä kaavaa ei ole. Ketjusääntö usean muuttujan tapauksessa tulee ajatella prosessina, jossa derivoidaan yhdistettyjä funktioita.
Derivoidaan funktio \(g(t)=f(x(t),y(t))\). Tässä \(f\) on muuttujien \(x\) ja \(y\) funktio ja molemmat näistä muuttujista riippuvat muuttujasta \(t\). Derivaatan määritelmän mukaan \begin{equation*} \begin{split} g'(t)&=\lim_{h\to 0}\frac{g(t+h)-g(t)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t+h))}{x(t+h)-x(t)}\cdot \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\\ &\quad +\lim_{h\to 0}\frac{f(x(t),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{y(t+h)-y(t)}\cdot \frac{y(t+h)-y(t)}{h}\\ &=f_1(x(t),y(t))x'(t)+f_2(x(t),y(t))\cdot y'(t). \end{split} \end{equation*} Tässä on tietysti oletettava kaikkien laskussa käytettyjen derivaattojen olemassaolo, jotta raja-arvon laskusääntöjä voidaan soveltaa. Lisäksi osamäärien nimittäjät eivät saa olla nollia.
Derivoidaan seuraavaksi \(g(s,t)=f(x(s,t),y(s,t))\). Tässä \(f\) on muuttujien \(x\) ja \(y\) funktio ja molemmat \(x\) ja \(y\) taas riippuvat muuttujista \(s\) ja \(t\). Samaan tapaan kuin edellä, pitämällä nyt toista muuttujista \(s\) ja \(t\) vakiona, kun toisen suhteen derivoidaan, saadaan. $$ g_1(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_1(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_1(s,t) $$ ja $$ g_2(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_2(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_2(s,t). $$ Saatiin seuraava tulos.
Esimerkki. Olkoon \(z=\sin(x^2y)\), missä \(x=st^2\) ja \(y=s^2+\frac{1}{t}\). Lasketaan \(\frac{\partial z}{\partial s}\) ja \(\frac{\partial z}{\partial t}\) kahdella eri tavalla.
Ketjusäännöllä saadaan \begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial z}{\partial s} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}\\ &=2xy\cdot \cos(x^2y)\cdot t^2 +x^2\cdot \cos(x^2y)\cdot 2s\\ &=(2xyt^2+2sx^2)\cos(x^2y) \end{split} \end{equation*} ja \begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial z}{\partial t} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}\\ &=2xy\cdot \cos(x^2y)\cdot 2st +x^2\cdot \cos(x^2y)\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)\\ &=(4xyst-\frac{x^2}{t^2})\cos(x^2y). \end{split} \end{equation*}
Sijoittamalla saadaan $$ z=\sin\left((st^2)(s^2+\frac{1}{t})\right) =\sin(s^4t^4+s^2t^3), $$ joten $$ \frac{\partial z}{\partial s} =(4s^3t^4+2st^3)\cos(s^4t^4+s^2t^3) $$ ja $$ \frac{\partial z}{\partial t} =(4s^4t^3+3s^2t^2)\cos(s^4t^4+s^2t^3). $$ Vertaillaan esityksiä. Kosinien argumentit ovat $$ s^4t^4+s^2t^3=x^2y $$ eli samat. Ensimmäiset sulkulausekkeet ovat \begin{equation*} \begin{split} 2xyt^2+2sx^2 &=2\cdot 2st^2(s^2+\frac{1}{t})t^2+2s(st^2)^2\\ &=2s^3t^4+2st^3+2s^3t^4 &=4s^3t^4+2st^3. \end{split} \end{equation*} Vastaavasti, pienen laskeskelemisen jälkeen saadaan, että $$ 4xyst-\frac{x^2}{t^2} =4s^4t^3+3s^2t^2. $$ Siis esitykset ovat samat.