Olkoon \(k\in\mathbb{N}\). Tällöin funktiot
$$
z=e^{kx}\cos(ky)\quad\textrm{ja}\quad
z=e^{kx}\sin(ky)
$$
ovat osittaisdifferentiaaliyhtälön
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0\tag{$*$}
\end{equation*}
ratkaisuja joukossa \(\mathbb{R}^2\). Yhtälö \((*)\) on
Esimerkki. Tarkistetaan laskemalla, että \(z=e^{kx}\cos(ky)\) todella on harmoninen funktio. Olkoon \(z=e^{kx}\cos(ky)\). Tällöin $$ \frac{\partial z}{\partial x}=ke^{kx}\cos(ky),\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-ke^{kx}\sin(ky) $$ ja $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=k^2e^{kx}\cos(ky),\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-k^2e^{kx}\cos(ky). $$ Nähdään, että $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0. $$