Toisen kertaluvun osittaisderivaatat funktiolle \(z=f(x,y)\) ovat \begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial x}=f_{11}(x,y)\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial y}=f_{22}(x,y)\\ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} &=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=f_{21}(x,y)\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} &=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}=f_{12}(x,y). \end{split} \end{equation*}
Esimerkki. Eräs kolmannen kertaluvun osittaisderivaatta on $$ \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x} =f_{121}(x,y). $$
Muut korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat määritellään vastaavasti.
Esimerkki. Jos \(f(x,y)=x^3y^4\), niin $$ f_1(x,y)=3x^2y^4,\quad f_2(x,y)=4x^3y^3. $$ Näitä edelleen muuttujan \(x\) suhteen derivoimalla saadaan $$ f_{11}(x,y)=6xy^4,\quad f_{21}(x,y)=12x^2y^3. $$ Toisaalta $$ f_{12}(x,y)=12x^2y^3,\quad f_{21}(x,y)=12x^2y^3. $$
Nähdään, että edellisessä esimerkissä \(f_{12}(x,y)=f_{21}(x,y)\). Osoittautuu, että tämä pätee hyvin usein.