Muodostetaan tangenttitaso pinnalle \(z=f(x,y)\) pisteessä \(p=(a,b,f(a,b))\). Kyseessäolevan tangenttitason leikkaus pystysuoran tason \(y=b\) kanssa on tangentti pinnan \(z=f(x,y)\) ja tason \(y=b\) leikkauskäyrälle pisteessä \(p\).
Kyseessäolevan tangentin kulmakerroin on \(f_1(a,b)\), joten se on yhdensuuntainen vektorin \(\vec{t}_1=\vec{i}+f_1(a,b)\vec{k}\) kanssa \(xz\)-tasossa.
Vastaavasti tangenttitason leikkaus pystysuoran tason \(x=a\) kanssa on suora, jonka kulmakerroin on \(f_2(a,b)\) ja joka on yhdensuuntainen vektorin \(\vec{t}_2=\vec{j}+f_2(a,b)\vec{k}\) kanssa \(yz\)-tasossa.
Täten tangenttitasolla on normaalivektori $$ \vec{n}=\vec{t}_1\times\vec{t}_2 =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 1 & f_2(a,b)\\ 1 & 0 & f_1(a,b) \end{vmatrix} =f_1(a,b)\vec{i}+f_2(a,b)\vec{j}-\vec{k}. $$ Tangenttitason yhtälö pisteessä \(p\) on siis $$ f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)-(z-f(a,b))=0 $$ eli $$ z=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b). $$
Kahden muuttujan funktion tapauksessa kuvaajalla \(z=f(x,y)\) on ääriarvokohdissa \(xy\)-tason suuntaiset tangenttitasot.
Esimerkki. Määrää pisteet, joissa pinnan $$ z=x^2-4xy-2y^2+12x-12y-1 $$ tangenttitasot ovat \(xy\)-tason suuntaiset.
Ratkaisu. \(xy\)-tason suuntaisen tason yhtälö on muotoa \(z=k\), toisin sanoin \(z\) ei riipu muuttujista \(x\) ja \(y\). Näin ollen on oltava $$ \frac{\partial z}{\partial x}=0\quad\textrm{ja}\quad \frac{\partial z}{\partial y}=0 $$ eli $$ \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x}=2x-4y+12=0\\ \frac{\partial z}{\partial y}=-4x-4y-12=0 \end{cases} $$ eli $$ \begin{cases} x=-4\\ y=1 \end{cases}. $$ Edelleen $$ z=z(-4,1)=16+16-2-48+12-1=-31. $$ Siten \(xy\)-tason suuntainen tangenttitaso löytyy vain pinnan pisteestä \((-4,1,-31)\).