Iterointi on prosessi, jossa kaksiulotteinen integraali esitetään kahtena perättäisenä yhden muuttujan määrättynä integraalina.
Olkoon \(f\) jatkuva rajoitetussa joukossa \(D\).
(1) Jos \(D\) on muotoa \(a\leq x\leq b\) ja \(c(x)\leq y\leq d(x)\), niin $$ \int\int_D f(x,y)\,dA =\int_a^b\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(X,y)\,dy\right)\,dx =\int_a^b\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dydx. $$
(2) Jos \(D\) on muotoa \(c\leq y\leq d\) ja \(a(y)\leq x\leq b(y)\), niin $$ \int\int_D f(x,y)\,dA =\int_c^d\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\,dydx. $$
Jos \(D\) ei ole suoraan tyyppiä (1) tai (2), niin usein se voidaan jakaa äärellisen moneen osaan, joista jokainen on tyyppiä (1) tai (2).
Esimerkki. Tarkastellaan neliötä $$ Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, 0\leq x\leq 1,\quad 1\leq y\leq 2\}. $$ Määritetään neliön \(Q\) yläpuolella ja pinnan \(z=4-x-y\) alapuolella olevan kappaleen tilavuus \(V\).
Ratkaisu 1. \begin{equation*} \begin{split} V&=\int\int_{Q}(4-x-y)\,dA &=\int_1^2\int_0^1(4-x-y)\,dxdy\\ &=\int_1^2\left[4x-\frac{1}{2}x^2-yx\right]_{x=0}^{x=1}\,dy\\ &=\int_1^2\frac{7}{2}-y\,dy\\ &=\left[ \frac{7}{2}y-\frac{1}{2}y\right]_{1}^2\\ &=7-2-\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=2. \end{split} \end{equation*}
Ratkaisu 2. \begin{equation*} \begin{split} V&=\int\int_{Q}(4-x-y)\,dA &=\int_0^1\int_1^2(4-x-y)\,dydx\\ &=\int_0^1\left[4y-xy-\frac{1}{2}y^2\right]_{y=1}^{y=2}\,dx\\ &=\int_0^1\left(\frac{5}{2}-x\right)\\ &=2. \end{split} \end{equation*}
Esimerkki. Olkoon \(T\) \(xy\)-tason kolmio, jonka kärkipisteet ovat \((0,0)\), \((1,0)\) ja \((1,1)\). Laske $$ \int\int_{T}xy\,dA. $$
Ratkaisu 1. \begin{equation*} \begin{split} \int\int_{T}xy\,dA &=\int_0^1\int_0^x xy\,dydx\\ &=\int_0^1\left[\frac{1}{2}xy^2\right]_{y=0}^{y=x}\,dx\\ &=\int_0^1\frac{1}{2}x^3\,dx\\ &=\left[\frac{1}{8}x^4\right]_{0}^1=\frac{1}{8} \end{split} \end{equation*}
Ratkaisu 2. \begin{equation*} \begin{split} \int\int_{T}xy\,dA &=\int_0^1\int_y^1 xy\,dxdy\\ &=\int_0^1\left[\frac{1}{2}x^2y\right]_{x=y}^{x=1}\,dy\\ &=\int_0^1\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y^3\right)\,dy\\ &=\left[\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{8}y^4\right]_{0}^1=\frac{1}{8}. \end{split} \end{equation*}
Edellisissä esimerkeissä iterointi onnistui molemmin päin. Usein käy niin, että toinen suunnista on vaikeampi tai mahdoton.
Esimerkki. Laske $$ I=\int_0^1\int_{\sqrt{x}}^1 e^{y^3}\,dydx. $$
Ratkaisu. Funktion \(e^{y^3}\) antiderivaatta muuttujan \(y\) suhteen ei ole tunnettu alkeisfunktio, joten kirjoitetaan \(I\) kaksoisintegraalina $$ I=\int\int_D e^{y^3}\,dA, $$ missä \(D\) on kuvan mukainen. Vaihdetaan integroimisjärjestystä, saadaan \begin{equation*} \begin{split} I &=\int_0^1\int_0^{y^2}e^{y^3}\,dxdy\\ &=\int_0^1\left[xe^{y^3}\right]_{x=0}^{x=y^2}\,dy\\ &=\int_0^1y^2e^{y^3}\,dy=\frac{1}{3}\left[e^{y^3}\right]_{x=0}^{x=1}\\ &=\frac{1}{3}(e-1). \end{split} \end{equation*}