Kurssi

Ratkaisu. (a) Muodostetaan kanta polynomeista \[ \begin{split} p_0(x)&=x-5^1\\ p_1(x)&=x^2-5^2\\ p_3(x)&=x^3-5^3\\ p_4(x)&=x^4-5^4. \end{split} \]

(b) Lisätään (a)-kohdan kantaan polynomi \(p_5=1\).

Ratkaisu. (a) Muodostetaan kanta polynomeista \[ \begin{split} p_0(x)&=(x-5)^0\\ p_1(x)&=(x-5)^1\\ p_2(x)&=(x-5)^3\\ p_3(x)&=(x-5)^4. \end{split} \]

(b) Lisätään (a)-kohdan kantaan polynomi \(p_4(x)=(x-5)^2\).

Ratkaisu. (a) Muodostetaan kanta polynomeista \[ \begin{split} p_0(x)&=1+(x-2)(x-5)\\ p_1(x)&=1+(x-2)^2(x-5)\\ p_2(x)&=1+(x-2)(x-5)^2\\ p_3(x)&=1+(x-2)^2(x-5)^2. \end{split} \]

(b) Lisätään (a)-kohdan kantaan polynomi \(p_4(x)=x\).

Ratkaisu. (a) Muodostetaan kanta polynomeista \[ \begin{split} p_0(x)&=1+(x-2)(x-5)(x-6)\\ p_1(x)&=1+(x-2)^2(x-5)(x-6)\\ p_2(x)&=1+(x-2)(x-5)^2(x-6)\\ p_3(x)&=1+(x-2)(x-5)(x-6)^2. \end{split} \]

(b) Lisätään (a)-kohdan kantaan polynomi \(p_4(x)=x\).

Ratkaisu. (a) Kantaan voidaan joka tapauksessa ottaa polynomit \[ \begin{split} p_0(x)&=x\\ p_1(x)&=x^3, \end{split} \] koska ne ovat parittomia ja niille pätee selvästi \(\int_{-1}^1p(x)dx=0\).

Koska $$ \int_{-1}^1 1dx=2,\quad \int_{-1}^1 x^2dx=\frac{2}{3},\quad \int_{-1}^1 x^4dx=\frac{2}{5} $$ eli $$ \int_{-1}^1 1dx=2,\quad \int_{-1}^1 3x^2dx=2,\quad \int_{-1}^1 5x^4dx=2, $$ niin kantaan voidaan ottaa lisäksi vaikkapa polynomit \[ \begin{split} p_2(x)&=5x^4-3x^2\\ p_3(x)&=5x^4-1. \end{split} \] Saatiin kanta \[ \begin{split} p_0(x)&=x\\ p_1(x)&=x^3\\ p_2(x)&=5x^4-3x^2\\ p_3(x)&=5x^4-1. \end{split} \] avaruudelle \(U\).

(b) Lisätään (a)-kohdan kantaan polynomi \(p_4(x)=1\).