Ratkaisu. Aliavaruutena \(U\) on myös äärellisulotteinen. Olkoon \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) kanta avaruudelle \(U\).
Olkoon \(\{u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m\}\) kanta avaruudelle \(V\).
Olkoon \(v\in V\) mielivaltainen. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen esitys
$$
v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n+b_1v_1+\cdots+b_mv_m.
$$
Määritellään
$$
F(v)=f(a_1u_1+\cdots+a_nu_n).
$$
Osoitetaan, että \(F\) on lineaarinen. Olkoon
$$
v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n+b_1v_1+\cdots+b_mv_m\in V
$$
ja
$$
v'=a_1'u_1+\cdots+a_n'u_n+b_1'v_1+\cdots+b_m'v_m\in V
$$
ja \(t\in\mathcal{K}\). Täytyy osoittaa, että \(F(v+tv')=F(v)+tF(v')\).
Saadaan
$$
v+tv'=(a_1+ta_1')u_1+\cdots+(a_n+ta_n')u_n+()v_1+\cdots+()v_n.
$$
Siis
\[
\begin{split}
F(v+tv')
&=F((a_1+ta_1')u_1+\cdots+(a_n+ta_n')u_n)\\
&=(a_1+ta_1')F(u_1)+\cdots+(a_n+ta_n')F(u_n).
\end{split}
\]
Toisaalta
$$
F(v)=a_1F(u_1)+\cdots+a_nF(u_n)
$$
ja
$$
F(v')=ta_1'F(u_1)+\cdots+ta_n'F(u_n),
$$
joten nähdään, että \(F(v+tv')=F(v)+tF(v')\) pätee.