Ratkaisu. Dimensiolauseen nojalla
$$
\mathrm{dim}~V=\mathrm{dim~ker}~T+\mathrm{dim}~T(V)
$$
ja koska \(T(V)\) on avaruuden \(W\) aliavaruus, niin
$$
\mathrm{dim}~V\leq\mathrm{dim~ker}~T+\mathrm{dim}~W.
$$
Oletetaan, että kuvaus \(T\) on olemassa. Siis \(\mathrm{dim~ker}~T=\mathrm{dim}~U\) ja
$$
\mathrm{dim}~V\leq \mathrm{dim}~U+\mathrm{dim}~W,
$$
mistä haluttu epäyhtälö seuraa.
Oletetaan, että
$$
\mathrm{dim}~V\leq \mathrm{dim}~U+\mathrm{dim}~W.
$$
Olkoon
$$
\{u_1,\ldots,u_n\}
$$
kanta avaruudelle \(U\),
$$
\{u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m\}
$$
kanta avaruudelle \(V\), ja
$$
\{w_1,\ldots,w_k\}
$$
kanta avaruudelle \(W\). Oletus tarkoittaa sitä, että
$$
n+m\leq n+k
$$
eli \(m\leq k\). Määritellään \(T\) asettamalla
$$
T(u_j)=0,\quad j=1,\ldots,n,
$$
ja
$$
T(v_j)=w_j,\quad j=1,\ldots,m.
$$
Koska \(m\leq k\), niin vektoreita \(w_1,\ldots,w_k\) oli tarpeeksi viimeisen määritelmän esittämistä varten.