Ratkaisu. Oletetaan, että kuvaus \(S\) on olemassa. Jos
$$
T(u)=T(v),
$$
niin
$$
u=S(T(u))=S(T(v))=v
$$
eli \(T\) on injektio.
Oletetaan, että \(T\) on injektio. Olkoon
$$
A=\{v_1,\ldots,v_n\}
$$
avaruuden \(V\) kanta. Nyt joukko
$$
B=\{T(v_1),\ldots,T(v_n)\}
$$
on lineaarisesti riippumaton. Täydennetään \(B\) avaruuden \(W\) kannaksi
$$
C=\{T(v_1),\ldots,T(v_n),w_1,\ldots,w_k\}.
$$
Määritellään kuvaus \(S\) asettamalla
$$
S(T(v_j))=v_j,\quad j=1,\ldots,n,
$$
ja
$$
S(w_j)=0,\quad j=1,\ldots,k.
$$
Koska \(ST\) säilyttää kantavektorit, se on identtinen kuvaus.
Huomaa, että mikäli \(k\gt 0\) eli \(\mathrm{dim}~V\lt \mathrm{dim}~W\), niin kuvaus \(TS\) on kyllä määritelty, mutta ei ole injektio. Siis yleisesti ottaen \(T\) ei ole bijektio.