Tehtävä. (3b2) Olkoon \(V\) vektoriavaruus ja \(S,T:V\to V\) lineaarikuvauksia siten, että kuvauksen \(S\) kuvajoukko sisältyy kuvauksen \(T\) ytimeen. Olkoon \(R=S\circ T\circ S\circ T\). Osoita, että \(R\) on identtisesti nolla kuvaus.
Ratkaisu. Olkoon \(v\in V\). Nyt \(w=S(T(v))\) kuuluu kuvauksen \(S\) kuvajoukkoon ja siten kuvauksen \(T\) ytimeen. Siis \(T(w)=T(S(T(v)))=0\). Koska \(S\) on lineaarinen, niin \(0=S(0)=S(T(w))=STST(v)=R(v)\).
Tehtävä. (3b5) Anna esimerkki kuvauksesta \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\), jolle ydin on sama kuin kuva-avaruus.
Ratkaisu.
Valitaan
$$
T(\bar{e}_1)=0,\quad T(\bar{e}_2)=0,\quad T(\bar{e}_3)=\bar{e}_1,\quad T(\bar{e}_4)=\bar{e}_2.
$$
Nyt ydin ja kuva-avaruus ovat kannan \(\{\bar{e}_1,\bar{e}_2\}\) virittämä aliavaruus.