Kurssi

Ratkaisu. (i) Dimensiolauseen perusteella $$ \mathrm{dim}~V=\mathrm{dim~ker}~L+\mathrm{dim}~L(v). $$ Kuvaus \(L\) on injektio jos ja vain jos \(\mathrm{dim~ker}~L=0\) eli jos ja vain jos $$ \mathrm{dim}~V=\mathrm{dim}~L(v). $$ Jos \(L\) on injektio, niin siis väistämättä $$ \mathrm{dim}~V=\mathrm{dim}~L(v)\leq \mathrm{dim}~W, $$ koska \(L(v)\) on avaruuden \(W\) aliavaruus.

(ii) Jos $$ \mathrm{dim}~V=\mathrm{dim}~L(v)\leq \mathrm{dim}~W, $$ niin kuvaus \(L\) voidaan valita injektioksi. Olkoon $$ \{v_1,\ldots,v_n\} $$ avaruuden \(V\) kanta ja $$ \{w_1,\ldots,w_m\} $$ avaruuden \(W\) kanta, jolloin \(n\leq m\). Valitaan $$ L(v_j)=w_j,\quad j=1,\ldots,n. $$ Nyt kuvauksen \(L\) ydin on pelkkä \(\{0_V\}\), joten \(L\) on injektio.

Ratkaisu. (i) Dimensiolauseen perusteella $$ \mathrm{dim}~V=\mathrm{dim~ker}~L+\mathrm{dim}~L(V), $$ joten koska \(\mathrm{dim~ker}~L\geq 0\), niin $$ \mathrm{dim}~V\geq \mathrm{dim}~L(V). $$ Jos \(L\) on surjektio, niin $$ \mathrm{dim}~V\geq \mathrm{dim}~L(V)=\mathrm{dim}~W $$

(ii) Jos \(\mathrm{dim}~V\geq \mathrm{dim}~W\), niin \(L\) voidaan valita surjektioksi. Olkoon $$ A=\{v_1,\ldots,v_n\} $$ avaruuden \(V\) kanta ja $$ B=\{w_1,\ldots,w_m\} $$ avaruuden \(W\) kanta. Siis \(n\geq m\). Valitaan $$ L(v_j)=w_j,\quad j=1,\ldots,m, $$ ja $$ L(v_j)=0,\quad j=m+1,\ldots,n. $$ Nyt \(L\) on surjektio.