Kurssi

Esimerkki 12.4.3. Mikä on lineaariavaruuden $\mathbb{R}^3$ aliavaruuden $$U=\left\{ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\,:\, x_1=0 \quad\textrm{ja}\quad 2x_2=x_3 \right\}$$ dimensio? Entä kanta?

Ratkaisu. Koska $\bar{u}\in U$ pätee jos ja vain jos $$\bar{u} =\begin{pmatrix} 0\\ a\\ 2a \end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix},\quad a\in\mathbb{R},$$ niin joukko $U$ voidaan esittää muodossa $$U= \left\{ a\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\,:\, a\in\mathbb{R} \right\}.$$ Näin ollen $U=[(0,1,2)^T]$. Koska $\{(0,1,2)^T\}\neq \{(0,0,0)^T\}$ on lineaarisesti riippumaton, niin $\mathrm{dim}(U)=1$ ja eräs aliavaruuden $U$ kanta on $\{(0,1,2)^T\}$.