Esimerkki 12.4.3. Mikä on lineaariavaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruuden $$ U=\left\{ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\,:\, x_1=0 \quad\textrm{ja}\quad 2x_2=x_3 \right\} $$ dimensio? Entä kanta?
Ratkaisu. Koska \(\bar{u}\in U\) pätee jos ja vain jos $$ \bar{u} =\begin{pmatrix} 0\\ a\\ 2a \end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix},\quad a\in\mathbb{R}, $$ niin joukko \(U\) voidaan esittää muodossa $$ U= \left\{ a\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\,:\, a\in\mathbb{R} \right\}. $$ Näin ollen \(U=[(0,1,2)^T]\). Koska \(\{(0,1,2)^T\}\neq \{(0,0,0)^T\}\) on lineaarisesti riippumaton, niin \(\mathrm{dim}(U)=1\) ja eräs aliavaruuden \(U\) kanta on \(\{(0,1,2)^T\}\).