Kurssi

Avaruuksia, joiden dimensio ei ole äärellinen



Esimerkki 12.4.8. (a) Kaikkien polynomien joukko \(\mathcal{P}\) on ääretönulotteinen lineaariavaruus. Jos olisi \(\mathrm{dim}~\mathcal{P}=n\) jollakin \(n\in\mathbb{N}\), niin tällöin joukko $$ \{1,x,x^2,\ldots,x^n\}, $$ jossa on \(n+1\) alkiota, olisi lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita. Avaruudella \(\mathcal{P}\) on numeroituvasti ääretön kanta $$ \{1,x,x^2,\ldots\}. $$

(b) Avaruudet \(\mathcal{C}^k(\Delta,\mathbb{R})\) ovat myös ääretönulotteisia. Näillä ei ole edes numeroituvaa kantaa.



Edellinen: esim12-4-7 | Seuraava: esim13-1-3 | Menu: 3