Esimerkki 13.1.3. Määritä nolla-avaruus matriisille $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{2\times 4}. $$
Koska \(\bar{x}\in N(A)\) jos ja vain jos \(A\bar{x}=\bar{0}\), niin riittää ratkaista vastaava homogeeniyhtälöryhmä. Yhtälöryhmäksi saadaan $$ \left\{ \begin{matrix} x_1 & +x_2 & +x_3 & &=&0\\ 2x_1 & +x_2 & & +x_4 &=&0 \end{matrix}\quad \right |\quad \begin{matrix} R_1\\ R_2 \end{matrix} $$ eli $$ \left\{ \begin{matrix} x_1 & +x_2 & +x_3 & &=&0\\ & -x_2 & -2x_3 & +x_4 &=&0 \end{matrix}\quad \right |\quad \begin{array}{l} R_1'\\ R_2'\leftarrow R_2-2R_1 \end{array} $$ eli $$ \left\{ \begin{matrix} x_1 & +x_2 & +x_3 & &=&0\\ & x_2 & 2x_3 & -x_4 &=&0. \end{matrix}\quad \right |\quad \begin{array}{l} R_1''\leftarrow R_1'\\ R_2''\leftarrow (-1)R_2 \end{array} $$ Esitetään ratkaisut parametrien \(s,t\in\mathbb{R}\) avulla. Jos \(x_3=s\) ja \(x_4=t\), niin ratkaisuksi saadaan $$ \bar{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s-t\\ -2s+t\\ s\\ t \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, $$ missä \(s,t\in\mathbb{R}\). Näin ollen matriisin \(A\) nolla-avaruus on $$ N(A)= \left\{ s \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R} \right\}. $$ Saatu matriisin nolla-avaruus on se avaruuden \(\mathbb{R}^4\) aliavaruus, joka kuvautuu maaliavaruuden \(\mathbb{R}^2\) origolle \((0,0)\) kuvauksessa \(\bar{x}\mapsto A\bar{x}\).