Matriisin riviavaruus
Esimerkki 13.2.4. Määritetään matriisin
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3\\
2 & -5 & 1\\
1 & -4 & -7
\end{pmatrix}
$$
riviavaruus. Matriisi \(A\) muuntuu alkeisoperaatioilla porrasmuotoon
$$
U=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3\\
0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
Alkeisoperaatioilla saatu matriisi \(U\) on riviekvivalentti, eli matriiseilla \(A\) ja \(U\) on sama riviavaruus, kirjoitetaan \([A]_r=[U]_r\). Riviavaruuden virittävät matriisin \(U\) rivit, joista kaksi on lineaarisesti riippumattomia. Siis riviavaruuden dimensio kaksi. Siis matriisin \(A\) aste on kaksi. Riviavaruus on
$$
[A]_r=
\{a(1,-2,3)
+b(0,1,5)\,:\, a,b\in\mathbb{R}
\}.
$$
Riviavaruuden kanta on esimerkiksi
$$
\{(1,-2,3),(0,1,5)\}.
$$