Kurssi

Matriisin rivi- ja sarakeavaruudet sekä aste



Esimerkki 13.2.9. Määritetään matriisin $$ A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 & 2\\ -1 & 3 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 5 & 13 & 5 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{4\times 5} $$ rivi- ja sarakeavaruudet sekä matriisin \(A\) aste. Matriisin \(A\) porrasmuoto on $$ U= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ Riviavaruuden erään kannan muodostavat porrasmuodon kolme ensimmäistä rivivektoria, joten $$ [A]_r=[ (1 , -2 , 1 , 1 , 2), (0 , 1 , 1 , 3 , 0), (0 , 0 , 0 , 0 , 1) ]\subset\mathbb{R}^{1\times 5}. $$ Matriisin aste on siis kolme. Porrasmuodon \(U\) johtavat alkiot ovat 1., 2. ja 5. sarakkeessa. Sarakeavaruuden eräs kanta saadaan poimimalla matriisista \(A\) vastaavat sarakkeet, joten $$ [A]_s =\left[ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} \right]. $$


Edellinen: esim13-2-4 | Seuraava: esim14-3-3 | Menu: 3