Matriisin rivi- ja sarakeavaruudet sekä aste
Esimerkki 13.2.9. Määritetään matriisin
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 1 & 2\\
-1 & 3 & 0 & 2 & -2\\
0 & 1 & 1 & 3 & 4\\
1 & 2 & 5 & 13 & 5
\end{pmatrix}
\in\mathbb{R}^{4\times 5}
$$
rivi- ja sarakeavaruudet sekä matriisin \(A\) aste. Matriisin \(A\) porrasmuoto on
$$
U=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
Riviavaruuden erään kannan muodostavat porrasmuodon kolme ensimmäistä rivivektoria, joten
$$
[A]_r=[
(1 , -2 , 1 , 1 , 2),
(0 , 1 , 1 , 3 , 0),
(0 , 0 , 0 , 0 , 1)
]\subset\mathbb{R}^{1\times 5}.
$$
Matriisin aste on siis kolme. Porrasmuodon \(U\) johtavat alkiot ovat 1., 2. ja 5. sarakkeessa. Sarakeavaruuden eräs kanta saadaan poimimalla matriisista \(A\) vastaavat sarakkeet, joten
$$
[A]_s
=\left[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-2\\
3\\
1\\
2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\\
-2\\
4\\
5
\end{pmatrix}
\right].
$$