Kurssi

Esimerkki 14.3.3. Olkoon $L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ lineaarikuvaus, jolle $$L \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \quad\textrm{ja}\quad L \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.$$ Laske $L(\bar{x})$, missä $\bar{x}=(x_1,x_2)^T\in\mathbb{R}^2$.

Ratkaisu. Koska $$\bar{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},$$ niin lineaarisuuden nojalla $$L(\bar{x}) =L\left(x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right) = x_1 L\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 L\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}.$$ Siis $$L(\bar{x}) =x_1 \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1+x_2\\ x_1\\ -x_1+x_2 \end{pmatrix}.$$

Esimerkki 14.3.5. Olkoon $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Tällöin kuvaus $$L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\quad L_A(\bar{x})=A\bar{x}$$ on lineaarinen, koska $$L_A(a\bar{x}+b\bar{y}) =A(a\bar{x}+b\bar{y}) =a(A\bar{x})+b(A\bar{y}) =aL_A(\bar{x})+bL_A(\bar{y})$$ kaikilla $\bar{x},\bar{y}\in\mathbb{R}^n$ ja kaikilla skalaareilla $a,b\in\mathbb{R}$.