Kurssi

Esimerkki 14.3.3. Olkoon \(L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) lineaarikuvaus, jolle $$ L \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \quad\textrm{ja}\quad L \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. $$ Laske \(L(\bar{x})\), missä \(\bar{x}=(x_1,x_2)^T\in\mathbb{R}^2\).

Ratkaisu. Koska $$ \bar{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, $$ niin lineaarisuuden nojalla $$ L(\bar{x}) =L\left(x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right) = x_1 L\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +x_2 L\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. $$ Siis $$ L(\bar{x}) =x_1 \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1+x_2\\ x_1\\ -x_1+x_2 \end{pmatrix}. $$

Esimerkki 14.3.5. Olkoon \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\). Tällöin kuvaus $$ L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\quad L_A(\bar{x})=A\bar{x} $$ on lineaarinen, koska $$ L_A(a\bar{x}+b\bar{y}) =A(a\bar{x}+b\bar{y}) =a(A\bar{x})+b(A\bar{y}) =aL_A(\bar{x})+bL_A(\bar{y}) $$ kaikilla \(\bar{x},\bar{y}\in\mathbb{R}^n\) ja kaikilla skalaareilla \(a,b\in\mathbb{R}\).