Esimerkki 16.1.3. Määritä lineaarikuvauksen \(L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), $$ L\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x_2+x_3\\ x_1-x_2-4x_3 \end{pmatrix} $$ matriisiesitys.
Ratkaisu. Aiemman lauseen nojalla matriisin sarakkeet saadaan kantavektorien kuvina. Koska $$ L\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix},\quad L\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ -4 \end{pmatrix}, $$ niin kysytty matriisi \(A_L\) on muotoa $$ A_L= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 3}. $$