Kurssi

Esimerkki 16.2.7. Olkoon $L:\mathcal{P}_2\to\mathbb{R}^2$, $$L(a+bx+cx^2)= \begin{pmatrix} c-a\\ b+c \end{pmatrix}.$$ Määritä kuvauksen $L$ matriisi luonnollisten kantojen suhteen. Laske $L(5-2x+3x^2)$ sekä määritelmän että matriisiesityksen avulla.

Ratkaisu. Luonnolliset kannat ovat $E=\{1,x,x^2\}$ ja $$F=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}.$$ Lasketaan lähtöpuolen kantavektorien kuvien koordinaatit kannassa $F$, saadaan $$L(1)= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix} =(-1) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +0 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(1)_F= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix},$$ ja $$L(x)= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} =0 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +1 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(x)_F= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},$$ ja $$L(x^2)= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} =1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +1 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(x^2)_F= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$ Tästä saadaan kuvauksen matriisi $$A= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 3}.$$ Matriisi on oikean kokoinen, sillä $\mathrm{dim}~\mathcal{P}_2=3$ ja $\mathrm{dim}~\mathcal{R}^2=2$.

Olkoon $p(x)=5-2x+3x^2$. Arvo $L(p)$ voidaan laskea suoraan lineaarikuvauksen $L$ määrittelyä käyttäen, saadaan $$L(p)= \begin{pmatrix} 3-5\\ -2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}.$$ Toisaalta, voidaan myös hyödyntää Matriisiesityslausetta, saadaan $$L(p)_F=Ap_E =\begin{matrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} 5\\ -2\\ 3 \end{matrix} = \begin{matrix} -2\\ 1 \end{matrix}.$$ Tällöin $$L(p)=-2\cdot \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} +1 \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix} = \begin{matrix} -2\\ 1 \end{matrix}.$$ Tässä lopputulos selvisi jo etukäteen, koska $F$ on luonnollinen kanta.