Esimerkki 16.2.7. Olkoon \(L:\mathcal{P}_2\to\mathbb{R}^2\), $$ L(a+bx+cx^2)= \begin{pmatrix} c-a\\ b+c \end{pmatrix}. $$ Määritä kuvauksen \(L\) matriisi luonnollisten kantojen suhteen. Laske \(L(5-2x+3x^2)\) sekä määritelmän että matriisiesityksen avulla.
Ratkaisu. Luonnolliset kannat ovat \(E=\{1,x,x^2\}\) ja $$ F=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}. $$ Lasketaan lähtöpuolen kantavektorien kuvien koordinaatit kannassa \(F\), saadaan $$ L(1)= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix} =(-1) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +0 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(1)_F= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}, $$ ja $$ L(x)= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} =0 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +1 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(x)_F= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, $$ ja $$ L(x^2)= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} =1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +1 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad L(x^2)_F= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}. $$ Tästä saadaan kuvauksen matriisi $$ A= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 3}. $$ Matriisi on oikean kokoinen, sillä \(\mathrm{dim}~\mathcal{P}_2=3\) ja \(\mathrm{dim}~\mathcal{R}^2=2\).
Olkoon \(p(x)=5-2x+3x^2\). Arvo \(L(p)\) voidaan laskea suoraan lineaarikuvauksen \(L\) määrittelyä käyttäen, saadaan $$ L(p)= \begin{pmatrix} 3-5\\ -2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}. $$ Toisaalta, voidaan myös hyödyntää Matriisiesityslausetta, saadaan $$ L(p)_F=Ap_E =\begin{matrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} 5\\ -2\\ 3 \end{matrix} = \begin{matrix} -2\\ 1 \end{matrix}. $$ Tällöin $$ L(p)=-2\cdot \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} +1 \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix} = \begin{matrix} -2\\ 1 \end{matrix}. $$ Tässä lopputulos selvisi jo etukäteen, koska \(F\) on luonnollinen kanta.