Esimerkki 16.3.2. Olkoon \(L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) lineaarikuvaus $$ L \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2\\ x_1+x_2\\ x_1-x_2 \end{pmatrix},\quad \bar{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2. $$ Määritä kuvauksen \(L\) matriisi kantojen $$ E=\left\{ (1,2)^T,(3,1)^T \right\} $$ ja $$ F=\left\{ (1,0,0)^T,(1,1,0)^T,(1,1,1)^T \right\} $$ suhteen.
Ratkaisu. Lasketaan kantavektorien kuvat, saadaan $$ L \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix},\quad L \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 2 \end{pmatrix}. $$ Koska laajennettu matriisi $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & | & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2\\ \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} R_1\\ R_2\\ R_3 \end{array} $$ on riviekvivalentisti $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 3 & -1\\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & 2\\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2\\ \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} R_1'\leftarrow R_1-R_3\\ R_2'\leftarrow R_2-R_3\\ R_3'\leftarrow R_3 \end{array}, $$ mikä on riviekvivalentisti $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & -3\\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & 2\\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2\\ \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} R_1''\leftarrow R_1'-R_2'\\ R_2''\leftarrow R_2'\\ R_3''\leftarrow R_3' \end{array}, $$ niin kuvauksen \(L\) matriisi kantojen \(E\) ja \(F\) suhteen on $$ A= \begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 2\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 2}. $$