Esimerkki 17.1.2. Joukot \(E=\{v_1,v_2\}\) ja \(F=\{w_1,w_2\}\), missä $$ v_1 =\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix},\quad v_2 =\begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix},\quad w_1 =\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 =\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, $$ ovat avaruuden \(\mathbb{R}^2\) kantoja.
| (a) | Määritä siirtomatriisi \(S\) kannasta \(E\) kantaan \(F\). | |
| (b) | Mitkä ovat vektorin \((1,2)^T\) koordinaatit näissä kannoissa? |
Ratkaisu. (a) Lasketaan vektoreille \(v_1\) ja \(v_2\) esitykset kannassa \(F\). Täytyy päteä $$ v_1 =\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} =s_{11} \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} +s_{21} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad\textrm{joten}\quad \begin{cases} s_{11}&=3\\ s_{21}&=-4 \end{cases}. $$ Lisäksi $$ v_2 =\begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix} =s_{12} \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} +s_{22} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad\textrm{joten}\quad \begin{cases} s_{12}&=4\\ s_{22}&=-5 \end{cases}. $$ Näin ollen siirtomatriisi on $$ S= \begin{pmatrix} (v_1)_F & (v_2)_F \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 4\\ -4 & -5 \end{pmatrix}. $$
Selvitetään \((1,2)^T\) koordinaatit kannassa \(E\). Pätee $$ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} =x_{1} \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} +x_{2} \begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix}, \quad\textrm{joten}\quad \begin{cases} x_{1}&=-11\\ x_{2}&=8 \end{cases}. $$ Vektorin \((1,2)^T\) koordinaatit kannassa \(F\) ovat $$ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}_F =S \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}_E =\begin{pmatrix} 3 & 4\\ -4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -11\\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}. $$