Esimerkki 17.1.3. Lineaariavaruuden \(\mathcal{P}_3\) standardi kanta on $$ E=\{1,x,x^2,x^3\}. $$ Määritä siirtomatriisi kannasta \(E\) kantaan $$ F=\{1+x,x,x^2-1,x^3+x\}. $$
Ratkaisu. Tällä kertaa on helpompi laskea \(S_{FE}\). Nyt $$ \begin{matrix} 1+x &=& 1\cdot 1&+1\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ x &=& 0\cdot 1&+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ x^2-1 &=& (-1)\cdot 1&+0\cdot x+1\cdot x^2+0\cdot x^3\\ x^3+x &=& 0\cdot 1&+1\cdot x+0\cdot x^2+1\cdot x^3\\ \end{matrix}, $$ joten $$ (1+x)_E=(1,1,0,0)^T,\quad x_E=(0,1,0,0)^T, $$ ja $$ (x^2-1)_E=(-1,0,1,0)^T,\quad (x^3+x)_E=(0,1,0,1)^T. $$ Näin ollen $$ S_{FE} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\textrm{ja}\quad S_{FE} =S_{FE}^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$