Esimerkki 17.2.2. Olkoot joukkojen \(E,F\subset\mathbb{R}^3\) alkioista sarakkeittain muodostetut matriisit $$ A_E =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\textrm{ja}\quad A_F =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ Olkoon \(\bar{x}\in\mathbb{R}^3\) siten, että \(\bar{x}_E=(a,b,c)^T\). Laske vektorin \(\bar{x}\) koordinaatit kannassa \(F\).
Ratkaisu. Koska \(\det(A_E)=1\neq 0\) ja \(\det(A_E)=1\neq 0\), niin joukot \(E\) ja \(F\) ovat kantoja. Lasketaan siirtomatriisi $$ S_{EF}=A_F^{-1}A_{E}. $$ Gauss-Jordanin reduktiolla $$ (A_F\,|\, A_E) \simeq \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right) \simeq \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) =(I~|~A_F^{-1}A_E). $$ Näin ollen $$ \bar{x}_F=S_{EF}\bar{x}_E =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+c\\ -2a+b-c\\ 3a-b+2c \end{pmatrix}. $$