Esimerkki 18.2.12. Määritä vakio \(b\in\mathbb{R}\) siten, että funktio \(f(x)=b\sin(x)\) on yksikkövektori avaruudessa \(\mathcal{C}([-\pi,\pi],\mathbb{R})\), missä sisätulona on integraalisisätulo $$ \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx. $$
Ratkaisu. Nyt $$ \lVert f\rVert^2 =\langle f,f\rangle =\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx=a^2\int_{-\pi}^\pi\sin^2(x)\,dx. $$ Valitsemalla \(y=x\) kaavassa $$ 2\sin(x)\sin(y)=\cos(x-y)-\cos(x+y) $$ saadaan $$ 2\sin^2(x)=1-\cos(2x), $$ joten $$ \lVert f\rVert^2=a^2\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi(1-\cos(2x))\,dx =a^2\pi, $$ joten valitaan \(a=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\). Tällöin \(\lVert f\rVert=1\) ja \(f\) on yksikkövektori avaruudessa \(\mathcal{C}([-\pi,\pi],\mathbb{R})\).