Esimerkki 19.1.5. Avaruuden \(\mathcal{C}([-\pi,\pi],\mathbb{R})\) funktiot \(\sin\) ja \(\cos\) ovat ortogonaalisia, koska $$ \langle \sin,\cos\rangle =\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\cos(x)\,dx=0. $$
Integraalin voi laskea käsin, jos huomaa, esimerkiksi että \(\sin(x)'=\cos(x)\).
Toisaalta, integraalin arvo on nolla, koska integroitava funktio on pariton. Funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) on