Esimerkki 21.1.4. Olkoot $$ \bar{u} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix} \quad\textrm{ja}\quad \bar{v} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}. $$ Mikä on joukon \(\bar{x}=s\bar{u}+t\bar{v}\), missä \(s,t\in\mathbb{R}\), ortogonaalinen komplementti?
Ratkaisu. Vektorit \(\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{R}^3\) ovat selvästi erisuuntaisia, joten kyseessäoleva joukko on origon kautta kulkeva taso ja siten aliavaruus. Tasoa vastaan kohtisuorassa olevat vektorit \(\bar{w}\in\mathbb{R}^3\) toteuttavat yhtälöparin $$ \begin{cases} \langle \bar{u},\bar{w}\rangle=0\\ \langle \bar{v},\bar{w}\rangle=0 \end{cases} \quad\textrm{eli}\quad \begin{cases} \begin{matrix} w_1 & +3w_2 & +2w_3 &=&0\\ 2w_1 & +w_2 & +4w_3 &=&0\\ \end{matrix} \end{cases} $$ eli $$ \bar{w} =\begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} =t \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}. $$ Tason ortogonaalinen komplementti on siis suora $$ W=\left\{ t \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R} \right\}. $$