Esimerkki 21.5.1. Määritä PNS-ratkaisu yhtälöryhmälle $$ (a)\quad \begin{cases} \begin{matrix} x_1 & +x_2 &=& 3\\ -2x_1 & +3x_2 &=& 1\\ 2x_1 & -x_2 &=& 2 \end{matrix} \end{cases} \quad (a)\quad \begin{cases} \begin{matrix} x_1 & +x_2 &=& 3\\ -2x_1 & +3x_2 &=& 1\\ 20x_1 & -10x_2 &=& 20 \end{matrix} \end{cases} $$
Ratkaisu. (a) Ensimmäisen yhtälöryhmän kerroinmatriisi $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -2 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{3\times 2} $$ on selvästi täyttä astetta. Näin ollen yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen PNS-ratkaisu. Riittää ratkaista normaaliyhtälö $$ A^TA\bar{x}=A^T\bar{b}. $$ Tässä $$ A^TA =\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -2 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -7\\ -7 & 11 \end{pmatrix} $$ ja $$ A^T\bar{b} =\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -2 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}. $$ Siis normaaliyhtälö \(A^TA\bar{x}=A^T\bar{b}\) on $$ \begin{pmatrix} 9 & -7\\ -7 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}, \quad\textrm{joten}\quad \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 83/50\\ 71/50 \end{pmatrix}. $$ Yhtälöryhmän (a) PNS-ratkaisu on siis \(\widehat{x}=(\frac{83}{50},\frac{71}{50})^T\).
Vastaavalla tavalla jälkimmäisen (b) PNS-ratkaisuksi saadaan \(\widehat{x}_0=(\frac{868}{505},\frac{727}{505})^T\).