Esimerkki 22.2.2. Sovita tason pistejoukkoon $$ \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} \right\} $$ PNS-suora.
Ratkaisu. Etsitään PNS-suoraa \(s=c_0+c_1t\). Saadaan yhtälöryhmä
$$
\begin{cases}
\begin{matrix}
c_0 & +c_1\cdot 0 &=&3\\
c_0 & +c_1\cdot 1 &=&2\\
c_0 & +c_1\cdot 2 &=&4\\
c_0 & +c_1\cdot 3 &=&4
\end{matrix}
\quad\textrm{eli}\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 2\\
1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\\
2\\
4\\
4
\end{pmatrix}
\end{cases}.
$$
Olkoon matriisiyhtälö muotoa \(M\bar{c}=\bar{s}\). Matriisi \(M\in\mathbb{R}^{4\times 2}\) on selvästi täyttä astetta, joten yhtälöryhmällä \(M\bar{c}=\bar{s}\) on yksikäsitteinen PNS-ratkaisu, joka on normaaliyhtälön \(M^TM\bar{c}=M^T\bar{s}\) ratkaisu. Nyt
$$
M^TM
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 2\\
1 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 & 6\\
6 & 14
\end{pmatrix}
$$
ja
$$
M^T\bar{s}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3\\
2\\
4\\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
13\\
22
\end{pmatrix}.
$$
Siis normaaliyhtälö \(M^TM\bar{c}=M^T\bar{s}\) on
$$
\begin{pmatrix}
4 & 6\\
6 & 14
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
13\\
22
\end{pmatrix},
\quad\textrm{joten}\quad
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5/2\\
1/2
\end{pmatrix}.
$$
Nyt \(\widehat{c}=(5/2,1/2)^T\), joten PNS-suora on
$$
s(t)=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}t,\quad t\in\mathbb{R}.
$$
Yhtälöryhmän \(M\bar{c}=\bar{s}\)