Kurssi

PNS-suora, tason neljä pistettä



Esimerkki 22.2.2. Sovita tason pistejoukkoon $$ \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} \right\} $$ PNS-suora.

Ratkaisu. Etsitään PNS-suoraa \(s=c_0+c_1t\). Saadaan yhtälöryhmä $$ \begin{cases} \begin{matrix} c_0 & +c_1\cdot 0 &=&3\\ c_0 & +c_1\cdot 1 &=&2\\ c_0 & +c_1\cdot 2 &=&4\\ c_0 & +c_1\cdot 3 &=&4 \end{matrix} \quad\textrm{eli}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_0\\ c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 4\\ 4 \end{pmatrix} \end{cases}. $$ Olkoon matriisiyhtälö muotoa \(M\bar{c}=\bar{s}\). Matriisi \(M\in\mathbb{R}^{4\times 2}\) on selvästi täyttä astetta, joten yhtälöryhmällä \(M\bar{c}=\bar{s}\) on yksikäsitteinen PNS-ratkaisu, joka on normaaliyhtälön \(M^TM\bar{c}=M^T\bar{s}\) ratkaisu. Nyt $$ M^TM = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6\\ 6 & 14 \end{pmatrix} $$ ja $$ M^T\bar{s} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 4\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\ 22 \end{pmatrix}. $$ Siis normaaliyhtälö \(M^TM\bar{c}=M^T\bar{s}\) on $$ \begin{pmatrix} 4 & 6\\ 6 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_0\\ c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\ 22 \end{pmatrix}, \quad\textrm{joten}\quad \begin{pmatrix} c_0\\ c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/2\\ 1/2 \end{pmatrix}. $$ Nyt \(\widehat{c}=(5/2,1/2)^T\), joten PNS-suora on $$ s(t)=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ Yhtälöryhmän \(M\bar{c}=\bar{s}\) residuaali on $$ r(\bar{c})=\bar{s}-T\bar{c},\quad \bar{c}\in\mathbb{R}^2. $$ Nyt $$ r(\bar{c}) =(3,2,4,4)^T-(c_0,c_0+c_1,c_0+2c_1,c_0+3c_1)^T $$ eli $$ r(\bar{c}) =(3,2,4,4)^T-(2.5,3,3.5,4)^T =(0.5,1,0.5,0) $$ joten $$ \lVert r(\bar{c})\rVert^2 =0.5^2+1^2+0.5^2+0^2. $$ Tämä on virheiden janojen pituuksien neliöiden summa.



Edellinen: esim21-5-1 | Seuraava: esim23-1-4 | Menu: 3