Esimerkki 23.1.4. Olkoon \(V\) lineaariavaruus. Määritetään eräiden peruskuvausten \(L:V\to V\) ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Tässä voidaan ajatella, että \(V=\mathbb{R}^2\) ja \(0_V=(0,0)^T\). Avaruus \(V\) voi olla joku muukin.
(a) Olkoon \(L(u)=0_V\) kaikilla \(u\in V\). Tällöin \(L\) on nollakuvaus. Nyt $$ 0_V=L(u)=\lambda u $$ jos ja vain jos \(\lambda=0\) tai \(u=0_V\). Vektoria \(u=0_V\) ei hyväksytä ominaisvektoriksi. Arvolla \(\lambda=0\) saadaan $$ L(u)=0\cdot u,\quad u\in V, $$ joten ominaisarvoa \(\lambda=0\) vastaavia ominaisvektoreita ovat \(u\in V\setminus\{0_V\}\). Nyt \(E_0=V\).
(b) Olkoon \(L\) identtinen kuvaus \(L(u)=u\), \(u\in V\). Tällöin $$ u=L(u)=\lambda u $$ jos ja vain jos \(\lambda =1\) tai \(u=0_V\). Vektoria \(u=0_V\) ei hyväksytä ominaisvektoriksi. Ominaisarvoa \(\lambda=1\) vastaaavat ominaisvektorit ovat \(u\in V\setminus\{0_V\}\). Nyt \(E_1=V\).
(c) Olkoon \(L\) skaalaus \(L(u)=-3u\), \(u\in V\). Tällöin $$ -3u=L(u)=\lambda u $$ jos ja vain jos \(\lambda =-3\) tai \(u=0_V\). Vektoria \(u=0_V\) ei hyväksytä ominaisvektoriksi. Ominaisarvoa \(\lambda=-3\) vastaaavat ominaisvektorit ovat \(u\in V\setminus\{0_V\}\). Nyt \(E_{-3}=V\).