Esimerkki 23.2.2. Olkoon $$ A= \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}. $$ Millä arvolla \(\lambda\in\mathbb{R}\) yhtälöllä \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) on ei-triviaaleja ratkaisuja \(\bar{x}\in\mathbb{R}^2\)?
Ratkaisu. Ominaisarvoyhtälössä \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) on kaksi yhtälöä ja kolme tuntematonta. Oikea puoli voidaan kirjoittaa muodossa
$$
\lambda\bar{x}=\lambda I\bar{x},
\quad\textrm{missä}\quad
I
=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}.
$$
Siis \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) jos ja vain jos
$$
A\bar{x}-\lambda I\bar{x}=\bar{0}
\quad\textrm{eli}\quad
(A-\lambda I)\bar{x}=\bar{0}.
$$
Kvadraattisella homogeenisella yhtälöryhmällä \((A-\lambda I)\bar{x}=\bar{0}\) on ei-triviaaleja ratkaisuja jos ja vain jos kerroinmatriisi ei ole säännöllinen. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että
$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$
Determinantti on
$$
\det(A-\lambda I)
=
\left|
\begin{pmatrix}
4 & -2\\
1 & 1
\end{pmatrix}
-\lambda
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right|
=\begin{vmatrix}
4-\lambda & -2\\
1 & 1-\lambda
\end{vmatrix}.
$$
Siis
$$
\det(A-\lambda I)
=(4-\lambda)(1-\lambda)+2
=\lambda^2-5\lambda+6=0.
$$
Tämä on matriisin \(A\)