Kurssi

Ominaisarvot \(2\times 2\)-matriisille



Esimerkki 23.2.2. Olkoon $$ A= \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}. $$ Millä arvolla \(\lambda\in\mathbb{R}\) yhtälöllä \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) on ei-triviaaleja ratkaisuja \(\bar{x}\in\mathbb{R}^2\)?

Ratkaisu. Ominaisarvoyhtälössä \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) on kaksi yhtälöä ja kolme tuntematonta. Oikea puoli voidaan kirjoittaa muodossa $$ \lambda\bar{x}=\lambda I\bar{x}, \quad\textrm{missä}\quad I =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}. $$ Siis \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) jos ja vain jos $$ A\bar{x}-\lambda I\bar{x}=\bar{0} \quad\textrm{eli}\quad (A-\lambda I)\bar{x}=\bar{0}. $$ Kvadraattisella homogeenisella yhtälöryhmällä \((A-\lambda I)\bar{x}=\bar{0}\) on ei-triviaaleja ratkaisuja jos ja vain jos kerroinmatriisi ei ole säännöllinen. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että $$ \det(A-\lambda I)=0. $$ Determinantti on $$ \det(A-\lambda I) = \left| \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right| =\begin{vmatrix} 4-\lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix}. $$ Siis $$ \det(A-\lambda I) =(4-\lambda)(1-\lambda)+2 =\lambda^2-5\lambda+6=0. $$ Tämä on matriisin \(A\) karakteristinen yhtälö. Sen ratkaisuiksi saadaan $$ \lambda_1=3 \quad\textrm{ja}\quad \lambda_2=2. $$ Arvoilla \(\lambda=2\) ja \(\lambda=3\) yhtälöllä \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) on ei-triviaaleja ratkaisuja. Nyt siis \(2\) ja \(3\) ovat matriisin \(A\) ominaisarvoja.



Edellinen: esim23-1-4 | Seuraava: esim23-3-2 | Menu: 3