Esimerkki 23.3.2. Lasketaan ominaisvektorit matriisille $$ A=\begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, $$ jolla tiedetään olevan ominaisarvot \(\lambda=3\) ja \(\lambda=2\).
Ratkaisu. Kun \(\lambda=3\), niin \(A\bar{x}=\lambda\bar{x}\) pätee jos ja vain jos \(A\bar{x}-3 I\bar{x}=\bar{0}\), missä $$ I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}. $$ Siis \((A-3 I)\bar{x}=\bar{0}\) eli $$ \begin{pmatrix} 4-3 & -2\\ 1 & 1-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} $$ eli $$ \begin{cases} x_1&=2t\\ x_2&=t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. $$ Ominaisvektoreita ovat $$ \bar{x}=t \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. $$
Kun \(\lambda=2\), niin \(A\bar{x}=2\bar{x}\) pätee jos ja vain jos $$ \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \quad\textrm{eli}\quad \begin{cases} x_1=t\\ x_2=t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. $$ Ominaisvektoreita ovat $$ \bar{x}=t \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. $$