Esimerkki 26.2.1. Esitä neliömuodot $$ P(\bar{x})=P(x_1,x_2) =2x_1^2+5x_1x_2-7x_2^2; $$ ja $$ Q(\bar{x})=Q(x_1,x_2) =2x_1^2-x_1x_2-+x^2; $$ symmetrisen matriisin avulla.
Ratkaisu. Halutaan löytää vakiot \(a,b,d\in\mathbb{R}\), joille pätee $$ P(\bar{x}) =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =ax_1^2+bx_1x_2+bx_2x_1+dx_2^2. $$ Neliömuoto \(P\) voidaan kirjoittaa muodossa $$ P(\bar{x})=2x_1^2+\frac{5}{2}x_1x_2+\frac{5}{2}x_2x_1-7x_2^2, $$ joten $$ P(\bar{x}) =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & \frac{5}{2}\\ \frac{5}{2} & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix},\quad \bar{x}\in\mathbb{R}^2. $$ Vastaavasti $$ Q(\bar{x}) =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix},\quad \bar{x}\in\mathbb{R}^2. $$ Tarkistetaan tämä auki kertomalla, saadaan $$ Q(x_1,x_2) =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2x_1 -\frac{1}{2}x_2\\ -\frac{1}{2}x_1 + x_2 \end{pmatrix} =x_1\left(2x_1 -\frac{1}{2}x_2\right)+x_2\left(-\frac{1}{2}x_1 + x_2\right). $$ Siis $$ Q(x_1,x_2)=x_1\left(2x_1 -\frac{1}{2}x_2\right)+x_2\left(-\frac{1}{2}x_1 + x_2\right) =2x_1^2-x_1x_2+x_2^2, $$ niin kuin pitääkin.