Esimerkki 26.2.2. Määritetään neliömuotojen $$ P(\bar{x})=P(x_1,x_2) =2x_1^2+5x_1x_2-7x_2^2; $$ ja $$ Q(\bar{x})=Q(x_1,x_2) =2x_1^2-x_1x_2+x^2 $$ tyypit.
Ratkaisu. Koska neliömuoto $$ P(x_1,x_2)=2x_1^2+5x_1x_2-7x_2^2 $$ toteuttaa epäyhtälöt $$ P(1,0)=2\gt 0 \quad\textrm{ja}\quad P(0,1)=-7\lt 0, $$ niin \(P\) on indefiniitti.
Neliömuodolle $$ Q(x_1,x_2) =2x_1^2-x_1x_2+x^2 $$ pätee $$ Q(\bar{x})=Q(x_1,x_2) =\frac{3}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2 +\frac{1}{2}( x_1^2-2x_1x_2+x_2^2) =\frac{3}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2 +\frac{1}{2}(x_1-x_2)^2\geq 0 $$ kaikilla \(\bar{x}=(x_1,x_2)^T\in\mathbb{R}^2\) ja \(Q(x_1,x_2)=0\) jos ja vain jos \((x_1,x_2)^T=\bar{0}\), joten \(Q\) on positiivisesti definiitti.