Kurssi

Esimerkki 26.2.2. Määritetään neliömuotojen $$P(\bar{x})=P(x_1,x_2) =2x_1^2+5x_1x_2-7x_2^2;$$ ja $$Q(\bar{x})=Q(x_1,x_2) =2x_1^2-x_1x_2+x^2$$ tyypit.

Ratkaisu. Koska neliömuoto $$P(x_1,x_2)=2x_1^2+5x_1x_2-7x_2^2$$ toteuttaa epäyhtälöt $$P(1,0)=2\gt 0 \quad\textrm{ja}\quad P(0,1)=-7\lt 0,$$ niin $P$ on indefiniitti.

Neliömuodolle $$Q(x_1,x_2) =2x_1^2-x_1x_2+x^2$$ pätee $$Q(\bar{x})=Q(x_1,x_2) =\frac{3}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2 +\frac{1}{2}( x_1^2-2x_1x_2+x_2^2) =\frac{3}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2 +\frac{1}{2}(x_1-x_2)^2\geq 0$$ kaikilla $\bar{x}=(x_1,x_2)^T\in\mathbb{R}^2$ ja $Q(x_1,x_2)=0$ jos ja vain jos $(x_1,x_2)^T=\bar{0}$, joten $Q$ on positiivisesti definiitti.