Esimerkki 26.2.5. Mitä tyyppiä on neliömuoto $$ P(x,y,z)=x^2+5y^2+5z^2-4xy-6yz+4xz? $$
Ratkaisu. Neliömuoto voidaan kirjoittaa muodossa $$ P(x,y,z)= \bar{x}^TB\bar{x} = (x,y,z) \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ -2 & 5 & -3\\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}. $$ Neliömuodon tyyppi voidaan määrittää symmetrisen esitysmatriisin \(B\) ominaisarvojen avulla. Koska $$ \det(B-\lambda I) =\begin{vmatrix} 1-\lambda & -2 & 2\\ -2 & 5-\lambda & -3\\ 2 & -3 & 5-\lambda \end{vmatrix}=0 $$ pätee jos ja vain jos $$ -\lambda^3+11\lambda^2-18\lambda=0, $$ niin matriisin \(B\) ominaisarvot ovat \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=2\) ja \(\lambda_3=9\). Siis kaikki ominaisarvot ovat ei-negatiivisia ja yksi niistä on nolla. Siis matriisi \(B\) on positiivisesti semidefiniitti, joten myös neliömuoto \(P\) on positiivisesti semidefiniitti.