Ratkaisu. Joukot
$$
A=[x,x^2-1]=\{\alpha x+\beta (x^2-1)\,:\,\alpha,\beta\in\mathbb{R}\},
$$
ja
$$
B=[1,x^2]=\{\gamma\cdot 1+\delta x^2\}\,:\, \gamma,\delta\in\mathbb{R},
$$
ovat lineaariavaruuden \(\mathcal{P}_2\) aliavaruuksia. Aliavaruuksien summa on edelleen aliavaruus, joten
$$
A+B=[x,x^2-1]+[1,x^2]\subset\mathcal{P}_2.
$$
Osoitetaan käänteinen inkluusio. Nyt joukon \(A+B\) polynomit ovat muotoa
$$
\alpha x+\beta(x^2-1)+(\gamma+\delta x^2),\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R},
$$
eli muotoa
$$
(\gamma-\beta)+\alpha x+(\beta+\delta)x^2.
$$
Olkoon \(p\in\mathcal{P}_2\), \(p(x)=a+bx+cx^2\), mielivaltainen. Tarkistetaan, onko olemassa skalaareja \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) siten, että
$$
a+bx+cx^2=(\gamma-\beta)+\alpha x+(\beta+\delta)x^2
$$
kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Nyt
$$
\begin{cases}
\begin{matrix}
&-\beta&+\gamma&&=&a\\
\alpha&&&&=&b\\
&\beta&&+\delta&=&c
\end{matrix}
\end{cases}
\quad\textrm{eli}\quad
\begin{cases}
\alpha &=b\\
\beta =c-t\\
\gamma =a+c-t\\
\delta=t\in\mathbb{R}.
\end{cases}
$$
Koska yhtälöryhmällä on ainakin yksi ratkaisu (tässä tapauksessa ratkaisuja on äärettömästi), niin \(\mathcal{P}_2\subset A+B\). Väite seuraa.